সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২: x2+y2+6x+4y+6=0x2+y2+4x+2y+2=0…’ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, (h, k) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং a ব্যাসার্ধের কোন বৃত্তের সমীকরণ, $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=a^2$
এখানে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $\frac{1}{2}\sqrt{10}$.
সুতরাং বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2={\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)}^2=\frac{5}{2}$. . . . . . . . . . (1)

এখন, বৃত্তটি $(1,1)$ বিন্দুগামী বলে (1)নং সমীকরণের বৃত্ত ঐ বিন্দু দ্বারা সিদ্ধ হবে, অর্থাৎ

$(1-h{)}^2+(1-k{)}^2=\frac{5}{2}$

বা, $1-2h+h^2+1-2k+k^2=\frac{5}{2}$
বা, $h^2+k^2-2h-2k+2-\frac{5}{2}=0$

$\therefore h^2+k^2-2h-2k-\frac{1}{2}=0$. . . . . . . . . . (2)

আবার, বৃত্তটির কেন্দ্র $y=3x-7$ রেখার উপর অবস্থিত বলে,

$k=3h-7$ . . . . . . . . . . . . . . . (3)

এখন k এর মান (2) এ বসিয়ে পাই,

$h^2+(3h-7{)}^2-2h-2(3h-7)-\frac{1}{2}=0$

বা, $h^2+9h^2-42h+49-2h-6h+14-\frac{1}{2}=0$
বা, $10h^2-42h+49-8h+\frac{27}{2}=0$
বা, $10h^2-50h+\frac{125}{2}=0$

বা, $20h^2-100h+125=0$ [2 দ্বারা গুণ করে]
বা, $4h^2-20h+25=0$ [5 দ্বারা ভাগ করে]
বা, $(2h-5{)}^2=0$
বা, $2h-5=0$
বা, $2h=5$
$\therefore h=\frac{5}{2}$
এখন, (3)নং সমীকরণ হতে পাই,

$k=3\left(\frac{5}{2}\right)-7=\frac{15}{2}-7=\frac{15-14}{2}=\frac{1}{2}$

অতএব, (1) এ h এবং k এর মান বসিয়ে পাই,

${(x-\frac{5}{2})}^2+{(y-\frac{1}{2})}^2=\frac{5}{2}$

বা; $x^2-5x+\frac{25}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$
বা, $x^2+y^2-5x-y+\frac{25}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}=0$
বা, $x^2+y^2-5x-y+\frac{25+1-10}{4}=0$
$\therefore x^2+y^2-5x-y+4=0$.

ধরি, $S_1=x^2+y^2+6x+4y+6=0$ ......... (1)

এবং $S_2=x^2+y^2+4x+2y+2=0$ .......... (2)

(1) ও (2) নং বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,

$S_1-S_2=0$

বা, $x^2+y^2+6x+4y+6-(x^2+y^2+4x+2y+2)=0$

বা, $x^2+y^2+6x+4y+6-x^2-y^2-4x-2y-2=0$

বা, $2x+2y+4=0$

বা, $x+y+2=0$

$\therefore y=-(x+2)$ .......... (3)

(2) নং ও (3) নং হতে পাই,

$x^2+\{-(x+2){\}}^2+4x+2\{-(x+2\}+2=0$

বা, $x^2+(x+2{)}^2+4x-2(x+2)+2=0$

বা, $x^2+x^2+4x+4+4x-2x-4+2=0$

বা, $2x^2+6x+2=0$

বা, $x^2+3x+1=0$

বা, $x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{-3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$

$\therefore x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

(3) নং এ $x$ এর মান বসিয়ে পাই,

$x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ হলে, $y=-(\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+2)$

$=-\left(\frac{-3+\sqrt{5}+4}{2}\right)$

$=-\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

$x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$ হলে, $y=-(\frac{-3-\sqrt{5}}{2}+2)$

$=-\left(\frac{-3-\sqrt{5}+4}{2}\right)=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$\therefore$ (1) নং ও (2) নং বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার দুই প্রান্তবিন্দু যথাক্রমে, $(\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2})$ এবং $(\frac{-3-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$

আমরা জানি, ব্যাসের প্রান্তবিন্দু $(x_1,y_1)$ এবং $(x_2,y_2)$ এরূপ বৃত্তের সমীকরণ $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$

$\therefore (x-\frac{-3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{-3-\sqrt{5}}{2})+(y-\frac{-1-\sqrt{5}}{2})(y-\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=0$

বা, $x^2-(\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+\frac{-3-\sqrt{5}}{2})x+\frac{(-3+\sqrt{5})(-3-\sqrt{5})}{4}+y^2$

$-(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2})y+\frac{(-1-\sqrt{5})(-1+\sqrt{5})}{4}=0$

বা, $x^2-\left(\frac{-3+\sqrt{5}-3-\sqrt{5}}{2}\right)x+y^2-\left(\frac{-1-\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2}\right)y+\frac{(-3{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}{4}+\frac{(-1{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}{4}=0$

বা, $x^2+3x+y^2+y+\frac{9-5}{4}+\frac{1-5}{4}=0$

বা, $x^2+y^2+3x+y+1-1=0$

$\therefore x^2+y^2+3x+y=0$