সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২ : xy+y=sin−1yx…’ যশোর বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$xy+y={\sin }^{-1}x$

$\Rightarrow \sin (xy+y)=\frac{y}{x}$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\cos (xy+y)\cdot (x\frac{dy}{dx}+y+\frac{dy}{dx})=\frac{x\cdot \frac{dy}{dx}-y}{x^2}$

$\Rightarrow x^2\cos (xy+y)\left\{\frac{dy}{dx}\right(1+x)+y\}=x\frac{dy}{dx}-y$

$\Rightarrow x^2(1+x)\cos (xy+y)\cdot \frac{dy}{dx}+x^{2}y\cos (xy+y)=x\frac{dy}{dx}-y$

$\Rightarrow x^2(1+x)\cos (xy+y)\frac{dy}{dx}-x\frac{dy}{dx}=-y-x^{2}y\cos (xy+y)$

$\Rightarrow \{(x^2+x^3)\cos (xy+y)-x\}\frac{dy}{dx}=-x^{2}y\cos (xy+y)-y$

$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-x^{2}y\cos (xy+y)-y}{(x^2+x^3)\cos (xy+y)-x}$

$△ABC$ সমকোণী ত্রিভূজ এবং অতিভূজ $AC=1$

$A{C}^2=B{C}^2+A{B}^2$

$\Rightarrow 1^2=\sqrt{{(1-16x^2)}^2}+A{B}^2$

$\Rightarrow 1=1-16x^2+{\mathrm{AB}}^2$

$\Rightarrow A{B}^2=16x^2$

$\Rightarrow AB=4x$

$\therefore h\left(x\right)=\frac{\mathrm{AB}}{\log \left(AB\right)}=\frac{4x}{\log \left(4x\right)}$

$y_1=\frac{\log \left(4x\right)\cdot 4-4x\cdot \frac{1}{4x}\cdot 4}{\{\log (4x){\}}^2}$

$=\frac{4\log 4x-4}{(\log 4x{)}^2}$

এবং

$\begin{array}{cc}& y_2=\frac{(\log 4x{)}^2\cdot (4\cdot \frac{1}{4x}\cdot 4-0)-(4\log 4x-4)\cdot 2\log 4x\frac{1}{4x}}{(\log 4x{)}^4}\\ & =\frac{(\log 4x{)}^2\left(\frac{4}{x}\right)-\frac{8\log 4x\cdot (\log 4x-1)}{x}}{(\log 4x{)}^4}\\ & =\frac{4\log 4x-8\log 4x+8}{x(\log 4x{)}^3}\\ & =\frac{8-4\log 4x}{x(\log 4x{)}^3}\end{array}$

চরম মানের জন্য,

$y_1=0$

$\Rightarrow \frac{4\log 4x-4}{(\log 4x{)}^2}=0$

$\Rightarrow 4\log 4x=4$

$\Rightarrow \log 4x=1$

$\Rightarrow 4x=e$

$\Rightarrow x=\frac{e}{4}$

$x=\frac{e}{4}$ এর জন্য,

$y_2=\frac{8-4\log 4\cdot \frac{3}{4}}{\frac{e}{4}{(\log 4\cdot \frac{e}{4})}^3}=\frac{8-4}{\frac{e}{4}}=\frac{16}{e}>0$

$x=\frac{e}{4}$ বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।

সর্বনিম্নমান$\begin{array}{cc}\therefore \text{ সর্বনিম্ন মান, }h\left(\frac{e}{r}\right)& =\frac{4\cdot \frac{e}{4}}{\log \cdot 4\cdot \frac{e}{4}}=\frac{e}{\log e}\\ & =\frac{e}{1}=e\end{array}$