সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দশ্যকল্প-২ :…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

চিত্র হতে, $\sin \theta =\frac{12}{13}$ 

$\therefore \theta ={\sin }^{-1}\frac{12}{13}$ 

বামপক্ষ $=\frac{1}{2}\theta +{\mathrm{cosec}}^{-1}\frac{5}{3}$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{12}{13}+{\tan }^{-1}\frac{3}{4}\\ & =\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2\times \frac{2}{3}}{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}+{\tan }^{-1}\frac{3}{4}\end{array}$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{1}{2}\times 2{\tan }^{-1}\frac{2}{3}+{\tan }^{-1}\frac{3}{4}[\because 2{\tan }^{-1}x={\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2}]\\ & ={\tan }^{-1}\frac{2}{3}+{\tan }^{-1}\frac{3}{4}={\tan }^{-1}\frac{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}}{1-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\frac{8+9}{12}}{1-\frac{1}{2}}={\tan }^{-1}\frac{\frac{17}{12}}{\frac{1}{2}}\\ & ={\tan }^{-1}(\frac{17}{12}\times \frac{2}{1})={\tan }^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\end{array}$ 

ডানপক্ষ $={\cot }^{-1}2+{\cot }^{-1}\frac{29}{28}$ 

$\begin{array}{cc}& ={\tan }^{-1}\frac{1}{2}+{\tan }^{-1}\frac{28}{29}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\frac{1}{2}+\frac{28}{29}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{28}{29}}={\tan }^{-1}\frac{\frac{1}{2}+\frac{28}{29}}{1-\frac{14}{29}}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\frac{29+56}{\frac{58}{29-14}}}{29}={\tan }^{-1}\frac{\frac{85}{58}}{\frac{15}{29}}\\ & ={\tan }^{-1}(\frac{85}{58}\times \frac{29}{15})={\tan }^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\end{array}$ 

$\therefore \frac{1}{2}\theta +{\mathrm{cosec}}^{-1}\frac{5}{3}={\cot }^{-1}2+{\cot }^{-1}\frac{29}{28}$. (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে. $f\left(x\right)=\cos x$
এখন, $\sqrt{3}f\left(x\right)+f(\frac{\pi }{2}+x)=1$
বা, $\sqrt{3}\cos x+\cos (\frac{\pi }{2}+x)=1$
বা, $\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}$ 

[উভয়পক্ষকে $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}$ বা, 2 দ্বারা ভাগ করে] 

বা, $\cos \frac{\pi }{6}\cos x-\sin \frac{\pi }{6}\sin x=\frac{1}{2}$
বা. $\cos (\frac{\pi }{6}+x)=\cos \frac{\pi }{3}$
বা, $\frac{\pi }{6}+x=2n\pi \pm \frac{\pi }{3}$, যেখানে $n\in Z$
বা, $x=2n\pi \pm \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}$, যেখানে $n\in Z$
বা, $x=2n\pi +\frac{\pi }{6},2n\pi -\frac{\pi }{2};$ যেখানে $n\in Z$
$\therefore x=(12n+1)\frac{\pi }{6},(4n-1)\frac{\pi }{2};$ যেখানে $n\in Z$ 

$n=0$ হলে, $x=-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6}$
$n=1$ হলে, $x=\frac{13\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$
$n=-1$ হলে, $x=\frac{-11\pi }{6},\frac{-5\pi }{2}$
$n=2$ হলে, $x=\frac{25\pi }{6},\frac{7\pi }{2}$
$n=-2$ হলে, $x=\frac{-23\pi }{6},\frac{-9\pi }{2}$ 

$-2\pi <x<2\pi$ ব্যবধিতে $x=\frac{-11\pi }{6},-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$ 

নির্ণেয়  সমাধান : $\frac{-11\pi }{6},-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$