সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দুইটি বেগের…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বেগ দুটির মান u ও v

∴ এদের বৃহত্তম লব্ধি $=u+v$, ক্ষুদ্রতম লব্ধি $=u-v$

প্রশ্নমতে, $u+v=m(u-v)$

ধরি, $u-v=n\therefore u+v=nm$

আবার, u ও v এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে,

লব্ধির মান $=\frac{1}{2}(u+v)$

$\therefore u^2+v^2+2uv\cos \theta =\frac{1}{4}(u+v{)}^2$

বা, $2u^2+2v^2+4uv\cos \theta =\frac{1}{2}(u+v{)}^2$

বা, $2(u^2+v^2)+4uv\cos \theta =\frac{1}{2}(u+v{)}^2$

বা, $\left\{\right(u+v{)}^2+(u-v{)}^2\}+\left\{\right(u+v{)}^2-(u-v{)}^2\}\cos \theta =\frac{1}{2}(u+v{)}^2$

বা, $n^2{m}^2+n^2+(n^2{m}^2-n^2)\cos \theta =\frac{1}{2}{n}^2{m}^2$

বা, $\frac{n^2{m}^2}{2}=n^2{m}^2+n^2+n^2(m^2-1)\cos \theta$

বা, $n^2{m}^2=2n^2{m}^2+2n^2+2n^2(m^2-1)\cos \theta$

বা, $m^2=2m^2+2+2(m^2-1)\cos \theta$

[উভয়পক্ষকে $n^2$ দ্বারা ভাগ করে পাই]

বা, $(m^2+2)+2(m^2-1)\cos \theta =0$

বা, $2(m^2-1)\cos \theta =-(m^2+2)$

বা, $\cos \theta =\frac{-(m^2+2)}{2(m^2-1)}$

$\therefore \cos \theta =\frac{m^2+2}{2(1-m^2)}$. (প্রমাণিত)

ধরি, নদীর প্রস্থ $d$

স্রোতের বেগ $y$ এবং ব্যক্তির বেগ $x$ এবং এদের লব্ধি বেগ $w$

$x$ ও $y$ বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α; স্রোতের বেগ বরাবর লম্বাংশ নিয়ে,

$y\cos 0+x\cos \alpha =w\cos {90}^{\circ }$

বা, $y+x\cos \alpha =0$

আবার, $w^2=x^2+y^2+2xy\cos \alpha$

$=x^2+y^2+2y(x\cos \alpha )$

$=x^2+y^2+2y\times (-y)$

$=x^2+y^2-2y^2=x^2-y^2$

$\therefore w=\sqrt{x^2-y^2}$

$\sqrt{x^2-y^2}$ বেগে $t_1$ সময়ে ব্যক্তি আড়াআড়িভাবে নদী পারাপার হয়।

$\therefore 2d=\sqrt{x^2-y^2}\times t_1$

$\therefore t_1=\frac{2d}{\sqrt{x^2-y^2}}\dots \dots .......\left(1\right)$

স্রোতের অনুকূলে লব্ধি বেগ, $=x+y$

স্রোতের প্রতিকূলে লব্ধি বেগ, $=x-y$

ব্যক্তি স্যোতের দিকে ও স্রোতের বিপরীতে একই দূরত্ব অতিক্রম করে $t_2$ সময়ে,

$t_2=\frac{d}{x+y}+\frac{d}{x-y}$

বা, $t_2=d(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y})=d\times \frac{x+y+x-y}{(x+y)(x-y)}$

$\therefore t_2=\frac{2xd}{x^2-y^2}.......\left(2\right)$

সমীকরণ $\left(1\right)$ কে $\left(2\right)$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{t_1}{t_2}=\frac{\frac{2d}{\sqrt{x^2-y^2}}}{\frac{2xd}{x^2-y^2}}=\frac{2d}{\sqrt{x^2-y^2}}\times \frac{x^2-y^2}{2xd}=\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{x}$

বা, $t_1:t_2=\sqrt{x^2-y^2}:x$

$\therefore \sqrt{x^2-y^2}:x=t_1:t_2$ (প্রমাণিত)