সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দুইটি নৌকা…’ বরিশাল সরকারি মহিলা কলেজ ২০২৫ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, নদীর প্রস্থ, OD = 500 মিটার = $\frac{1}{2}$ কি.মি.

এখানে, A নৌকাটি O বিন্দু হতে OB বরাবর যাত্রা করে ক্ষুদ্রতম পথে যেতে চায়। নদীর স্রোতের বেগ ও নৌকার বেগ যথাক্রমে OA ও OB দ্বারা সূচিত করা হলো।

ক্ষুদ্রতম পথ পার হওয়ার জন্য এদের লব্ধি বেগ OACB সামান্তরিকের কর্ণ OC, অবশই OD বরাবর হবে। অর্থাৎ, স্রোতের বেগের সাথে $OC\perp OA$ লম্ব হবে।

$\therefore$ লব্ধি বেগ, $\mathrm{OC}=\sqrt{{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{OA}}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

$\therefore OC$ বরাবর নৌকার লব্ধি বেগ ঘণ্টায় 4 কি.মি.।

তাহলে, OD পথে পাড়ি দেওয়ার প্রয়োজনীয় সময় কিমিকিমিঘণ্টা$t_1=\frac{\frac{1}{2}\text{ কি. মি. }}{4\text{ কি. মি. }/\text{ ঘণ্টা }}=\frac{1}{8}$ ঘণ্টা

আবার, B নৌকাটি O থেকে তীরের বা স্রোতের সাথে $\theta$ কোণে OE বরাবর মাত্রা করে ক্ষুদ্রতম সময়ে নদীটি পাড়ি দিতে চায়। OD বরাবর স্রোতের ও নৌকার বেগের লম্বাংশের সমষ্টি = OD বরাবর সক্রিয় বেগ $=3\cos {90}^{\circ }+5\cos ({90}^{\circ }-\theta )=3\times 0+5\sin \theta =5\sin \theta$

$\therefore$ এক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় সময়, $t_2=\frac{\frac{1}{2}}{5\sin \theta }=\frac{1}{10\sin \theta }$

সময় ক্ষুদ্রতম হবে যদি $\sin \theta$ বৃহত্তম হয়।

অর্থাৎ, $\sin \theta =1=\sin {90}^{\circ }$ বা, $\theta ={90}^{\circ }$ হয়।

$\therefore t_2=\frac{1}{10\times 1}=\frac{1}{10}$ ঘণ্টা।

$\therefore$ তাদের মধ্যে সময়ের ব্যবধান, $t=t_1-t_2$

$=\frac{1}{8}-\frac{1}{10}=\frac{1}{40}$

= 0.025 ঘণ্টা =1.5 মিনিট

অর্থাৎ, A ও B উভয় নৌকাই একই সময়ে নদীর অপর তীরে পৌঁছায়। নির্ণেয় সময়ের ব্যবধান 1.5 মিনিট।

ধরি, প্রক্ষেপ বেগ = u

প্রথম বিচরণ পথের জন্য প্রক্ষেপ কোণ $=\alpha$

দ্বিতীয় বিচরণ পথের জন্য প্রক্ষেপ কোণ $=\frac{\pi }{2}-\alpha$

তাহলে, $t_1=\frac{2u\sin \alpha }{g}$ এবং $t_2=\frac{2u\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )}{g}=\frac{2u\cos \alpha }{g}$

আবার, অনুভূমিক পাল্লা, $R=\frac{u^2\sin 2\alpha }{g}$

বা, $R=\frac{2u\sin \alpha \cdot 2u\cos \alpha }{2g}=\frac{g}{2}\cdot \frac{2u\sin \alpha }{g}\cdot \frac{2u\cos \alpha }{g}=\frac{1}{2}g{t}_1{t}_2$

$\therefore t_1{t}_2=\frac{2R}{g}$. (প্রমাণিত)