সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দুইটি সরলরেখার…’ – ভেক্টর, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, 15x8y+3=0 এবং 4x + 3y +5=0

রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়,

$\frac{15x-8y+3}{\sqrt{(15{)}^2+(-8{)}^2}}=\pm \frac{4x+3y+5}{\sqrt{4^2+3^2}}$

বা, $\frac{15x-8y+3}{17}=\pm \frac{4x+3y+5}{5}$
বা, $75x-40y+15=\pm (68x+51y+85)$
(+) নিয়ে, $75x-40y+15=68x+51y+85$
বা, $7x-91y=70$
বা, $\frac{x}{10}+\frac{y}{\frac{-10}{13}}=1$

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক  $(0,\frac{-10}{13})$

(-) নিয়ে, 75x – 40y+15=-68x - 51y - 85

বা, $143x+11y=-100$
বা, $\frac{x}{\frac{-100}{143}}+\frac{y}{\frac{-100}{11}}=1$

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,\frac{-100}{11})$

∴ PQ এর দৈর্ঘ্য $=|\frac{-10}{13}+\frac{100}{11}|$ একক

$=\frac{1190}{143}$ একক

নির্ণেয় PQ এর দৈর্ঘ্য $=\frac{1190}{143}$ একক

দেওয়া আছে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k},\overrightarrow{B}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{C}=a\hat{i}-7\hat{j}+10\hat{k}$

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 3& -1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(3+1)-\hat{j}(2+2)+\hat{k}(2-6)=4\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}\end{array}$

$\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরের সাথে লম্ব হলে, $(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}=0$

বা, $(4\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k})\cdot (a\hat{i}-7\hat{j}+10\hat{k})=0$
বা, $4.a+(-4)\cdot (-7)+(-4)\cdot 10=0$
বা, $4a+28-40=0$
বা, $4a-12=0$
বা, $4a=12$
$\therefore a=3$
নির্ণেয় মান : $a=3$.