সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : এককের…’ ঢাকা কলেজ ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে , $p\left(x\right)=a+bx+c{x}^2$ 

$\therefore p\left(\omega \right)=a+b\omega +c{\omega }^2=u$ (ধরি ) 

এবং $p\left(\frac{1}{\omega }\right)=a+b\left(\frac{1}{\omega }\right)+c{\left(\frac{1}{\omega }\right)}^2=a+\frac{b}{\omega }+\frac{c}{{\omega }^2}=v$ ( ধরি) 
এখন, $\left\{p\right(\omega ){\}}^3+{\left\{p\left(\frac{1}{\omega }\right)\right\}}^3=0$
বা, $u^3+v^3=0$ বा, $(u+v)(u^2-uv+v^2)=0$
বা, $(u+v)\{u^2+(\omega +{\omega }^2)uv+v^2\cdot {\omega }^3\}=0$ 

$[\because 1+\omega +{\omega }^2=0$ এবং ${\omega }^3=1]$ 

বা, $(u+v)(u^2+uv\omega +uv{\omega }^2+v^2\cdot {\omega }^3)=0$
বা, $(u+v)\left\{u\right(u+v\omega )+v{\omega }^2(u+v\omega \left)\right\}=0$
বা, $(u+v)(u+v\omega )(u+v{\omega }^2)=0$
হয়, $u+v=0$
বা, $a+b\omega +c{\omega }^2+a+\frac{b}{\omega }+\frac{c}{{\omega }^2}=0$
বা, $a{\omega }^2+b{\omega }^3+c{\omega }^4+a{\omega }^2+b\omega +c=0$
বা, $a{\omega }^2+b+c\omega +a{\omega }^2+b\omega +c=0[\because {\omega }^3=1]$
বা, $2a{\omega }^2+b(1+\omega )+c(1+\omega )=0$
বা, $2a{\omega }^2-b{\omega }^2-c{\omega }^2=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
বা, ${\omega }^2(2a-b-c)=0$
বা, $2a-b-c=0[\because {\omega }^2\ne 0]$
বা, $2a=b+c$ 

$\therefore a=\frac{1}{2}(b+c)$ 

অথবা, $u+v\omega =0$
বা, $a+b\omega +c{\omega }^2+(a+\frac{b}{\omega }+\frac{c}{{\omega }^2})\omega =0$
বা, $a+b\omega +c{\omega }^2+a\omega +b+\frac{c}{\omega }=0$
বা, $a\omega +b{\omega }^2+c{\omega }^3+a{\omega }^2+b\omega +c=0$.
বা, $a(\omega +{\omega }^2)+2c+b(\omega +{\omega }^2)=0[\because {\omega }^3=1]$
বা, $-a+2c-b=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
বা, $2c=a+b$

$\therefore c=\frac{1}{2}(a+b)$ 

অতএব, $a=\frac{1}{2}(b+c)$ অথবা $c=\frac{1}{2}(a+b)$ দেখানো হলো 

দেওয়া আছে, $m^2+n^2=1$, যেখানে  $m,n\in R$ 

এবং $z_1=1-ix$ ও $z_2=1+ix$ 

বা, $\frac{1-ix}{1+ix}=m-in$

বা, $\frac{1-ix-1-ix}{1-ix+1+ix}=\frac{m-in-1}{m-in+1}$ [বিয়োজন করো ]

বা, $\frac{-2ix}{2}=\frac{(m-1)-in}{(m+1)-in}$

বা, $-ix=\frac{\left\{\right(m-1)-in\}(m+1+im)}{\left\{\right(m+1)+n\}\left\{\right(m+1)-in\}}$

বা, $-ix=\frac{(m-1-in)(m+1+in)}{(m+1{)}^2+n^2}$ 

বা, $-ix=\frac{m^2+m+imn-m-1-in-imn-in-i^2{n}^2}{m^2+2m+1+n^2}$ 

বা, $-ix=\frac{m^2-1-2in+n^2}{m^2+n^2+2m+1}=\frac{m^2+n^2-2in-1}{1+2m+1}=\frac{1-2in-1}{2+2m}=\frac{-2in}{2(1+m)}$ 

বা, $-ix=\frac{-in}{1+m}$ 

$\therefore x=\frac{n}{1+m}$ যা বাস্তব। (দেখানো হলো)