সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : একজন…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, সাতারুর বেগ u ও স্রোতের বেগ v

স্রোত না থাকলে নদী পার হতে সময় লাগে।

$\therefore S=$ ut

বা, $u=\frac{s}{t}$

মনেকরি, স্রোত থাকলে u ও v এর মধ্যবর্তী কোণ a হলে সোজা নদী পার হতে পারবে।

$\therefore$ লব্ধি বেগ $w$ হলে,

$w^2=u^2+v^2+2uv\cos \alpha$ ........ (1)

আবার, $\tan {90}^{\circ }=\frac{u\sin \alpha }{v+u\cos \alpha }$। সোজাসুজি পার হলে $\theta ={90}^{\circ }$।

$\infty =\frac{u\sin \alpha }{v+u\cos \alpha }$

বা, $\frac{1}{\infty }=\frac{v+\mathrm{ucos}\alpha }{\mathrm{usin}\alpha }$

বা, $0=\frac{v+u\cos \alpha }{u\sin \alpha }$

বা, $v+u\cos \alpha =0$

$\therefore \mathrm{ucos}\alpha =-v$

(1) নং হতে,

$w^2=u^2+v^2-2v^2$

বা, $w=\sqrt{u^2-v^2}$

এখন, $S={\mathrm{wt}}^{\prime }$

বা, $S=\sqrt{u^2-v^2}{t}^{\prime }$

বা, $S=\sqrt{\frac{s^2}{t^2}-v^2}\dots [u=\frac{s}{t}]$

বা, $\frac{s^2}{t^2}=\frac{s^2}{t^2}-v^2$

বা, $v^2=\frac{s^2}{f^2}-\frac{s^2}{t^{\prime 2}}$

বা, $v^2=S^2(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^2})$

$\therefore v=S\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^{\prime 2}}}$

$\therefore$ স্রোতের বেগ, $v=S\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^{\prime 2}}}m/\min$. (প্রমাণিত)

[দ্রষ্টব্য : উদ্ধীপকে এর একক মিনিট ধাকায় $S\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^{\prime 2}}}m/s$ এর পরিবর্তে $S\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^{\prime 2}}}m/\min$ প্রমাণ করা হয়েছে]

১ম ক্ষেত্রে,

ধরি, বুলেটের আদিবেগ = u

সরণ, $s_1=1$ সে. মি.

শেষ বেগ, $v=u-\frac{u}{3}=\frac{2u}{3}$

মন্দন $=a$

আমরা জানি, $v^2=u^2-2a_1$

বা, ${\left(\frac{2u}{3}\right)}^2=u^2-2a\times 1$

বা, $2a=u^2-\frac{4u^2}{9}$

$\therefore 2a=\frac{5u^2}{9}$

২য় ক্ষেত্রে, বুলেটের আদিবেগ, $u^{\prime }=v=\frac{2u}{3}$

বুলেটের শেষবেগ, $v^{\prime }=0$

সরণ, $s_2=$ ?

আমরা জানি, $v^{\prime 2}=u^{\prime 2}-2{\mathrm{as}}_2$

বা, $0^2={\left(\frac{2u}{3}\right)}^2-\frac{5u^2}{9}\times s_2$

[(1) হতে $2a$ এর মান নিয়ে]

বা, $\frac{5u^2}{9}{s}_2=\frac{4u^2}{9}$

বা, $s_2=\frac{4u^2\times 9}{9\times 5u^2}=\frac{4}{5}$

$\therefore s_2=0.8$ সে.মি.

$\therefore$ বুলেটটির বেগ শূন্য হওয়ার পূর্বে দেয়ালের ভিতর আরো 0.8 সে.মি. ঢুকটে।