সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : একটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, প্রক্ষেপ বেগ = u

প্রথম বিচরণ পথের জন্য প্রক্ষেপ কোণ $=\alpha$

দ্বিতীয় বিচরণ পথের জন্য প্রক্ষেপ কোণ $=\frac{\pi }{2}-\alpha$

তাহলে, $t_1=\frac{2u\sin \alpha }{g}$

এবং $t_2=\frac{2u\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )}{g}=\frac{2u\cos \alpha }{g}$

আবার, অনুভূমিক পাল্পা,

$R=\frac{u^2\sin 2\alpha }{g}$

বা, $R=\frac{2u\sin \alpha \cdot 2u\cos \alpha }{2g}$

বা, $R=\frac{g}{2}\cdot \frac{2u\sin \alpha }{g}\cdot \frac{2u\cos \alpha }{g}$

বা, $R=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}_1{t}_2$

$\therefore t_1{t}_2=\frac{2R}{g}\cdot$ (প্রমাণিত)

স্থান দুইটির মধ্যবর্তী মোট দূরত্ব $=S$

ধরি, ১ম অংশের জন্য দূরত্ব $=a$, সময় $=t_1$, সমত্বরণ $=x_1$

এবং ২য় অংশের জন্য দূরত্ব $=S-a$, সময় $=t_2$, সমমন্দন $=x_2$

সময়, $t=t_1+t_2$.

সমত্বরণের ক্ষেত্রে :

$v=x_1{t}_1$

বা, $\frac{v}{x_1}=t_1\dots \dots \left(1\right)$

এবং $a=\frac{1}{2}{x}_1{t}_1{}^2=\frac{1}{2}{x}_1{t}_1\cdot t_1=\frac{1}{2}v{t}_1$ ........ (2)

সমমন্দনের ক্ষেত্রে : $0=v-x_2{t}_2$

বা, $v=x_2{t}_2$

$\therefore \frac{v}{x_2}=t_2$ ......... (3)

এবং $S-a=v{t}_2-\frac{1}{2}{x}_2{t}_2{}^2$

$=v{t}_2-\frac{1}{2}v{t}_2=\frac{1}{2}v{t}_2$ ....... (4)

সমীকরণ (1) ও (3) যোগ করে পাই,

$t=v(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})$ ........... (5)

আবার, সমীকরণ (2) ও (4) যোগ করে পাই,

$a+S-a=\frac{1}{2}v(t_1+t_2)$

বা, $S=\frac{1}{2}vt$

বা, $v=\frac{2S}{t}$ .......... (6)

সমীকরণ (5) ও (6) নং হতে পাই,

$t=\frac{2S}{t}(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})$

বা, $t^2=2(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})S$. (প্রমাণিত)