সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : একটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, প্রত্যেকটি বল $P[\because P=Q]$

$2\theta$ কোণে ক্রিয়াশীল বলের লব্ধি $2R$ হলে,

$(2R{)}^2=P^2+P^2+2P^2\cos 2\theta$

বা, $4R^2=2P^2+2P^2\cos 2\theta$

$\therefore R^2=\frac{P^2}{2}+\frac{P^2}{2}\cos 2\theta$ ..... (1)

আবার, $2\phi$ কোণে ক্রিয়াশীল বলের লব্ধি R হলে,

$R^2=P^2+P^2+2P^2\cos 2\phi$

বা, $R^2=2P^2+2P^2\cos 2\phi$ ....... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই,

$\frac{P^2}{2}+\frac{P^2}{2}\cos 2\theta =2P^2+2P^2\cos 2\phi$

বা, $\frac{P^2}{2}(1+\cos 2\theta )=2P^2(1+\cos 2\phi )$

বা, $2{\cos }^2\theta =4\times 2{\cos }^2\phi$

বা, ${\cos }^2\theta =4\times {\cos }^2\phi$

বা, $\cos \theta =2\cos \phi$

$\therefore \theta ={\cos }^{-1}(2\cos \phi )$ (প্রমাণিত)

$A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P$ ও $Q$ বলের লব্ধি C বিন্দুতে,

$\therefore$ P. $\mathrm{AC}=Q.\mathrm{BC}$

বা, $\frac{BC}{AC}=\frac{P}{Q}$ বা, $\frac{BC-AC}{AC}=\frac{P-Q}{Q}$ [বিয়োজন করে]

বা, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{P-Q}{Q}[\because \mathrm{BC}-\mathrm{AC}=\mathrm{AB}]$

বা, $\mathrm{AC}=\frac{Q\cdot \mathrm{AB}}{P-Q}$

$P$ ও $Q$ উভয় বলের মান $a$ পরিমাণ বল বৃদ্ধির ফলে লব্ধি $D$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত।

$\therefore (P+a)\cdot AD=(Q+a)\cdot BD$

বা, $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}=\frac{P+a}{Q+a}$

বা, $\frac{\mathrm{BD}-\mathrm{AD}}{\mathrm{AD}}=\frac{P+a-Q-a}{Q+a}$ [বিয়োজন করে]

বা, $\frac{AB}{AD}=\frac{P-Q}{Q+a}[\because BD-AD=AB]$

বা, $\mathrm{AD}=\frac{(Q+a)\cdot \mathrm{AB}}{P-Q}$

লব্ধির সরণ, $\mathrm{CD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AC}=\frac{(Q+a)\cdot \mathrm{AB}}{P-Q}-\frac{Q\cdot \mathrm{AB}}{P-Q}$

$=\frac{Q\cdot AB+a\cdot AB-Q\cdot AB}{P-Q}$

$\therefore \mathrm{CD}=\frac{a}{P-Q}\mathrm{AB}$. (দেখানো হলো)