সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : একটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

[বি.দ্র.: প্রশ্নে  $f=2(\frac{x}{t}-\frac{y}{t_1})/(t+t_1)$ এর পরিবর্তে $f=2(\frac{y}{t_1}-\frac{x}{t})/(t+t_1)$ হবে] 

$AB$ অংশে : বস্তুকণাটি $A$ বিন্দু হতে $u$ আদিবেগে $f$ সমত্বরণে চলে $t$ সময়ে $x$ দূরত্ব অতিক্রম করে $B$ বিন্দুতে $v$ বেগ প্রাপ্ত হয়

$\therefore x=\mathrm{ut}+\frac{1}{2}f\cdot t^2$$......\left(i\right)$ 

বা, $\frac{x}{t}=u+\frac{1}{2}ft$

এবং $v=u+ft$ বা, $v-u=ft$
বা, $u-v=-A$$......\left(ii\right)$ 
$BC$ অংশে : বস্তু কণাটি $v$ আদিবেগে একই সমত্বরণে চলে $t_1$ সময়ে y দূরত্ব অতিক্রম করে।

$\therefore y={\mathrm{vt}}_1+\frac{1}{2}f{t}_1{}^2$

বা, $\frac{y}{t_1}=v+\frac{1}{2}f{t}_1$$.......\left(iii\right)$ 
$\left(i\right)$ নং হতে $\left(iii\right)$ নং বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{x}{t}-\frac{y}{t_1}=u-v+\frac{1}{2}ft-\frac{1}{2}f{t}_1$
বা, $\frac{x}{t}-\frac{y}{t_1}=-ft+\frac{1}{2}ft-\frac{1}{2}f{t}_1$
[$\left(ii\right)$নং হতে]
বা, $\frac{x}{t}-\frac{y}{t_1}=\frac{-1}{2}ft-\frac{1}{2}{f}_1$
বা, $\frac{y}{t_1}-\frac{x}{t}=\frac{1}{2}f(t+t_1)$

$\therefore f=2(\frac{y}{t_1}-\frac{x}{t})/(t+t_1).$

(দেখানো হলো) 

এখানে, $\alpha$ কোণে ও $u$ বেগে নিক্ষিপ্ত বস্কুটি $t_1$ সময়ে $AB=R$ দূরত্ব অতিক্রম করে। আবার $\beta$ কোণে ও $v$ বেগে নিক্ষিপ্ত বস্কুটি $t_2$ সময়ে $AB=R$ দূরত্ব অতিক্রম করে।
১ম ক্ষেত্রে, $\mathrm{AB}=R=\frac{u^2\sin 2\alpha }{g}$$....\left(1\right)$

এবং $t_1=\frac{2u\sin \alpha }{g}$$....\left(2\right)$

২য় ক্ষেত্রে, $\mathrm{AB}=R=\frac{v^2\sin 2\beta }{g}$$....\left(3\right)$

$t_2=\frac{2v\sin \beta }{g}$$....\left(4\right)$

$\left(1\right)$ ও $\left(3\right)$নং হতে পাই,

$\frac{u^2\sin 2\alpha }{g}=\frac{v^2\sin 2\beta }{g}$

বা, $\frac{u^2}{v^2}=\frac{\sin 2\beta }{\sin 2\alpha }=\frac{2\sin \beta \cos \beta }{2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }$
বা, $\frac{u^2}{v^2}=\frac{\sin \beta \cos \beta }{\sin \alpha \cos \alpha }$$....\left(5\right)$
$\left(2\right)$$÷$$\left(4\right)$ হতে পাই, $\frac{t_1}{t_2}=\frac{u}{v}\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

বা, $\frac{t_1{}^2}{t_2{}^2}=\frac{u^2}{v^2}\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\beta }$ [বর্গ করে]
বা, $\frac{t_1{}^2}{t_2{}^2}=\frac{\sin \beta \cdot \cos \beta \cdot {\sin }^2\alpha }{\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot {\sin }^2\beta }=\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \sin \beta }$
বা, $\frac{t_1{}^2-t_2{}^2}{t_1{}^2+t_2{}^2}=\frac{\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }$ |বিয়োজন-যোজন করে|
$\therefore \frac{t_1^2-t_2^2}{t_1^2+t_2^2}=\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin (\alpha +\beta )}$.
(প্রমাণিত)