সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: একটি কণা…’ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – পর্যাবৃত্ত গতি, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

সরণ হলো কোনো কণার সাম্যাবস্থান থেকে যেকোনো মুহূর্তে তার সরলরৈখিক দূরত্ব। এটি একটি ভেক্টর রাশি। অন্যদিকে, বিস্তার হলো সরল ছন্দিত স্পন্দনরত কণার সাম্যাবস্থান থেকে যেকোনো একদিকে তার সর্বোচ্চ সরণ। বিস্তার একটি স্কেলার রাশি।

এখানে,
সরণ, $x_1=2\mathrm{cm},x_2=3\mathrm{cm}$
বেগ, $v_1=4{\mathrm{cms}}^{-1},v_2=3{\mathrm{cms}}^{-1}$

আমরা জানি,

কৌণিক কম্পাঙ্ক $\omega$ ও বিস্তার A হলে সরল ছন্দিত স্পন্দনের ক্ষেত্রে বেগ,

$V=\omega \sqrt{A^2-x^2}$
$\therefore V_1=\omega \sqrt{A^2-x_1^2}$. . . . . . . . . (i)
ও $V_2=\omega \sqrt{A^2-x_2^2}$ . . . . . . . . . (ii)

(i) ÷ (ii) হতে পাই,
$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{A^2-x_1^2}{A^2-x_2^2}}$
বা, ${\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^2=\frac{A^2-x_1^2}{A^2-x_2^2}$
বা, ${\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{A^2-2^2}{A^2-3^2}$
বা, $\frac{16}{9}=\frac{A^2-4}{A^2-9}$
বা, $16A^2-144=9A^2-36$
বা, $16A^2-9A^2=144-36$
বা, $7A^2=108$
বা, $A=\sqrt{\frac{108}{7}}=3.928\mathrm{cm}$

(i) নং হতে পাই,
$v_1=\omega \sqrt{A^2-x_1^2}$
বা, $4=\frac{2\pi }{T}\sqrt{{3.928}^2-2^2}$
বা, $T=\frac{2\pi \times 3.38}{4}$
$\therefore T=5.31s$ (Ans.)

উদ্দীপক হতে, পাহাড়ের চূড়ায় $3$ ঘণ্টায় $10sec$ সময়ের পার্থক্য দেয় তথা সময় হারায়। অর্থাৎ, $n=10$।

$\therefore \frac{T^{\prime }}{T}=\frac{3\times 3600}{3\times 3600-10}=1.0009268$

পাহাড়ের উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g^{\prime }$ হলে, $\frac{g}{g^{\prime }}={\left(\frac{T^{\prime }}{T}\right)}^2=1.001854459$

আবার, পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল অপরিবর্তিত থাকলে, $\frac{L}{g}=\frac{L^{\prime }}{g^{\prime }}$

বা, $L^{\prime }=\frac{g^{\prime }}{g}\times L=\frac{1}{1.001854459}\times L=0.99815L$

∴ দৈর্ঘ্য হ্রাস, $\Delta L=L-L^{\prime }=L-0.99815L$

$=1.85\times {10}^{-3}L=L$ এর $0.185\%$

অতএব, উদ্দীপকে উল্লেখিত পাহাড়ের চূড়ায় সেকেন্ড দোলক হিসেবে কাজ করতে হলে কার্যকরী দৈর্ঘ্য $0.185\%$ হ্রাস করতে হবে।