সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: একটি কনিকের…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{3}<1$

সুতরাং কনিকটি উপবৃত্ত। 

ধরি, উপবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$.......\left(1\right)$

দৃশ্যকল্প-১ হতে, উপকেন্দ্র ও নিকটতম নিয়ামকের মধ্যবর্তী দূরত্ব $8$ একক। 
অর্থাৎ, $\frac{a}{e}-ae=8$
বা, $a\left(\frac{1-e^2}{e}\right)=8$
বা, $a=\frac{8e}{1-e^2}=\frac{8\times \frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{8\times \frac{1}{3}}{\frac{8}{9}}=3$ 

$\therefore a=3$ 

আবার, আমরা জানি, $b=a\sqrt{1-e^2}=3\sqrt{1-\frac{1}{9}}=2\sqrt{2}$ 

$\therefore b=2\sqrt{2}$ 

সমীকরণ (1)নং এ a ও b এর মান বসিয়ে পাই, 

$\begin{array}{cc}& \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{(2\sqrt{2}{)}^2}=1\\ & \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}$ 

ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ। 

দৃশ্যকল্প-২ হতে, নিয়ামকের সমীকরণ, x = 4 

বা, $x-4=0$$...........\left(i\right)$

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $S(10,0)$ 

$\therefore ae=10$$...........\left(ii\right)$

আবার, নিয়ামকের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $Z_1(4,0)$

$\therefore \frac{a}{e}=4$$...........\left(iii\right)$

$\left(ii\right)$ নং কে $\left(iii\right)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

 $\frac{\mathrm{ae}}{\frac{a}{e}}=\frac{10}{4}$ 

বা, $e^2=\frac{5}{2}$
$\therefore e=\sqrt{\frac{5}{2}}>1$; সুতরাং কনিকটি একটি অধিবৃত্ত।
ধরি, অধিবৃত্তের উপর $P(x,y)$ যেকোনো একটি বিন্দু।
$\therefore$ অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $SP=ePM$
বা, ${\mathrm{SP}}^2=e^2{\mathrm{PM}}^2$ 

বা, $(x-10{)}^2+(y-0{)}^2=\frac{5}{2}\frac{|x-4{|}^2}{{\left(\sqrt{1^2+0^2}\right)}^2}$ 

বা, $x^2-20x+100+y^2=\frac{5}{2}(x^2-8x+16)$
বা, $2x^2-40x+200+2y^2=5x^2-40x+80$
বা, $-3x^2+2y^2=-120$
বা, $\frac{-3x^2}{-120}+\frac{2y^2}{-120}=1$

$\therefore \frac{x^2}{40}-\frac{y^2}{60}=1$

নির্ণোয় কণিকটির সমীকরণ $\frac{x^2}{40}-\frac{y^2}{60}=1$.