সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : একটি…’ নটরডেম কলেজ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ এ, $y=a{x}^2+bx+c$ মালিকের শীর্ষ $(-2,3)$ এবং যা $(0,5)$ বিন্দুগামী।

শীর্ষ (-2,3) ও অক্ষরেখা y-অক্ষের সমান্তরাল এমন পরাবৃত্ত।

$(x+2{)}^2=4a^{\prime }(y-3);$ এটি $(0,5)$ বিন্দুগামী

$\therefore 4=4a^{\prime }.2$

বা, $a^{\prime }=\frac{1}{2}$

∴ পরাবৃত্তের সমীকরণ,

$(x+2{)}^2=4\cdot \frac{1}{2}(y-3)$

বা, $x^2+4x+4=2y-6$

বা, $x^2+4x+4-2y+6=0$

$\therefore x^2+4x-2y+10=0$

ইহাই নির্ণেয় কণিকটির সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

$2x^2+y^2-8x-2y+1=0$

বা, $2(x^2-4x)+1(y^2-2y)=-1$

বা, $2(x^2-2.x.2+2^2)+1(y^2-2.y.1+1^2)=-1+8+1$

বা, $2(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=8$

বা, $\frac{2(x-2{)}^2}{8}+\frac{(y-1{)}^2}{8}=1$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{8}=1$ ইহাকে

$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে

$X=x-2$

$Y=y-1$

$a^2=4$

$\therefore a=2$

$b^2=8$

$\therefore b=2\sqrt{2}$

এখানে, $b>a$

এখন, উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$

$=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{8-4}{8}}$

$=\sqrt{\frac{4}{8}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

∴ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2a^2}{b}$

$=\frac{2\times 4}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $Y=\pm \mathrm{be}$

বা, $y-1=\pm 2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $y-1=\pm 2$

বা, $y=\pm 2+1$

${}^{\prime }{+}^{\prime }$ চিহ্ন নিয়ে, $y=2+1$

$\therefore y=3$

${}^{\prime }{-}^{\prime }$ চিহ্ন নিয়ে, $y=-2+1$

$\therefore y=-1$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $2\sqrt{2}$ একক এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $y=3,y=-1$.