সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: একটি পরাবৃত্তাকার…’ সরকারি আজিজুল হক কলেজ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, পরাবৃত্তটির প্রান্তদ্বয়ের সংযোগ রেখা $x$ অক্ষ এবং উচ্চতা $y$ অক্ষ। তাহলে প্রান্তদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু হচ্ছে মূলবিন্দু (0, 0)

$\therefore$ পরাবৃত্তের শীর্ষ $(0,20)$ এবং অক্ষরেখা $y$ অক্ষ

$\therefore$ পরাবৃত্তের সমীকরণ $(x-0{)}^2=4a(y-20)$

বা, $x^2=4a(y-20)$ या $(\pm \frac{40}{2},0)$ বা $(\pm 20,0)$ বিন্দু দিয়ে যায়।

$\therefore (\pm 20{)}^2=4a(0-20)$

বা, $400=-80a$

বা, $a=-\frac{400}{80}=-5$

$\therefore$ পরাবৃত্তটির সমীকরণ,

$x^2=4a(y-20)$

বা, $x^2=4(-5)(y-20)$

বা, $x^2=-20(y-20)$

পরাবৃত্তস্থ কোনো বিন্দুর ভুজ x=10 বা - 10 হলে,

$(10{)}^2=-20(y-20)$

বা, $y-20=-\frac{100}{20}$

বা, $y-20=-5$

বা, $y=-5+20$

$\therefore y=15$

অর্থাৎ প্রান্তদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দু হতে 10 ফিট দূরে খিলানের উচ্চতা = 15 ফুট।

দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $L(3,4)$ ও $L^{\prime }(3,0)$

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $\dot{S}=(\frac{3+3}{2},\frac{4+0}{2})=(\frac{6}{2},\frac{4}{2})=(3,2)$

উপকেন্দ্রিক লম্ব ${\mathrm{LL}}^{\prime }$ এর সমীকরণ,

$\frac{x-3}{3-3}=\frac{y-4}{4-0}$

বা, $\frac{x-3}{0}=\frac{y-4}{4}$

বা, $4(x-3)=0$

$\therefore x-3=0$

নিয়ামকরেখা উপকেন্দ্রিক লম্বের সমান্তরাল।

ধরি, নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $x+k=0$

পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$ হলে,

$SP=PM$

বা, $\sqrt{(x-3{)}^2+(y-2{)}^2}=\left|\frac{x+k}{\sqrt{1^2}}\right|$

$\therefore (x-3{)}^2+(y-2{)}^2=(x+k{)}^2.$ ..... (i)

(i)নং পরাবৃত্তটি $(3,4)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,

$(3-3{)}^2+(4-2{)}^2=(3+k{)}^2$

বা, $2^2=(3+k{)}^2$

বা, $(3+k{)}^2=4$

বা, $k+3=\pm \sqrt{4}$

বা, $k+3=\pm 2$

বা, $k=\pm 2-3$

বা, $k=2-3,-2-3$

$\therefore k=-1,-5$

$k=-1$ হলে, (i)নং হতে পাই,

$(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=(x-1{)}^2$

বা, $x^2-6x+9+y^2-4y+4=x^2-2x+1$

বা, $x^2-6x+y^2-4y+13-x^2+2x-1=0$

$\therefore y^2-4y-4x+12=0$

$k=-5$ হলে, (i)নং হতে পাই,

$(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=(x-5{)}^2$

বা, $x^2-6x+9+y^2-4y+4=x^2-10x+25$

বা, $x^2-6x+y^2-4y+13-x^2+10x-25=0$

$\therefore y^2-4y+4x-12=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, $y^2-4y-4x+12=0$ এবং $y^2-4y+4x-12=0$.