সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: একটি পরাবৃত্তের…’ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(1,1)$ 
এবং অক্ষ ও নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু   $Z(3,2)$$\therefore$ 
$ZS$ রেখার সমীকরণ : 

$\frac{x-1}{1-3}=\frac{y-1}{1-2}$ 

বা, $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{-1}$
বা, $\frac{x-1}{2}=y-1$
বা, $x-1=2y-2$
বা, $x-2y-1+2=0$
বা, $x-2y+1=0$

$ZS$ রেখা বা অক্ষরেথা নিয়ামক রেখার সাথে লম্বডাবে থাকে। চাই নিয়ামক রেখা হবে, $2x+y+k=0$$.........\left(i\right)$ 
 $\left(i\right)$নং রেখাটি $(3,2)$ বিন্দু দিয়ে যায়। তাই 

$2\times 3+2+k=0$

বা, $6+2+k=0$
বা, $8+k=0$

$\therefore k=-8$

k এর মান $\left(i\right)$ নং এ বসিয়ে পাই,

$2x+y-8=0$

পরাবৃত্তের উপরস্প যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$ হলে পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে পাই,

$SP=PM$

বা, $\sqrt{(x-1{)}^2+(y-1{)}^2}=\frac{|2x+y-8|}{\sqrt{2^2+1^2}}$
বা, $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{1}{5}(2x+y-8{)}^2$ [বর্গ করে] 
বা, $5(x^2-2x+1+y^2+1)=4x^2+y^2+64+4xy-16y-32x$
বা, $5x^2-10x+5+5y^2-10y+5-4x^2-y^2-64-4xy+16y+32x=0$

$\therefore x^2+4y^2+22x+6y-4xy-54=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, $x^2+4y^2+22x+6y-4xy-54=0$.

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}& \frac{(x-2{)}^2}{16}-\frac{(y-6{)}^2}{4}=1\\ \therefore & \frac{(x-2{)}^2}{4^2}-\frac{(y-6{)}^2}{2^2}=1\end{array}$

ইহাকে অধিবৃত্তের সাধারণ আকার  $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $X=x-2,Y=y-6$
$a=4$ এবং  $b=2$
উৎকেন্দ্রিকতা $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{4}{16}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,

$X=\pm ae$

বা, $x-2=\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{2}$
বা, $x-2=\pm 2\sqrt{5}$

$\therefore x-2\pm 2\sqrt{5}=0$

অসীমতট রেখার সমীকরণ,

$y=\pm \frac{b}{a}x$

বা, $y-6=\pm \frac{2}{4}(x-2)$
বা, $y-6=\pm \frac{1}{2}(x-2)$
বা, $2y-12=\pm (x-2)$

$\therefore \pm (x-2)-2y+12=0$

নির্ণেয় সমীকরণ$x-2\pm 2\sqrt{5}=0$ 
এবং   অসীমতট সমীকরণ, , $\pm (x-2)-2y+12=0$.