সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : একটি…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

পরাবৃত্তে শীর্ষবিন্দু $A(1,1)$

নিয়ামক রেখা (MZ) এর সমীকরণ :

$2x+y-1=0.....\left(i\right)$

মনেকরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(\alpha ,\beta )$

অক্ষরেখার সমীকরণ : $x-2y+k=0$

যা $A(1,1)$ বিন্দুগামী হলে, $1-2+k=0.........\left(ii\right)$

$\therefore K=1$

$K$ এর মান (ii) নং বসিয়ে পাই,

$x-2y+1=0.........\left(iii\right)$

(i) $\times 2+($ ii)

$4x+2y-2=0$

$\underset{―}{x-2y+1=0}$

$5x-1=0$

$\therefore x=\frac{1}{5}$

$x$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$2\times \frac{1}{5}+y-1=0$

$\Rightarrow y=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$

$\therefore z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{1}{5},\frac{3}{5})$

SZ এর মধ্যবিন্দু A হলে,

$\frac{\alpha +\frac{1}{5}}{2}=1$

$\Rightarrow \alpha =2-\frac{1}{5}$

$\therefore \alpha =\frac{9}{5}$

এবং $\frac{\beta +\frac{3}{5}}{2}=1$

$ Rightarrow beta=frac{beta+frac{3}{5}}{2}=1$

$\therefore \beta =2-\frac{3}{5}$

$\therefore$ উপকেন্দ্রের S $(\frac{9}{5},\frac{7}{5})$

ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P $(x,y)$

$\therefore$ পরাবৃত্তের সংখ্যা হতে পাই,

$SP=PM$

$\Rightarrow S{P}^2=P{M}^2$

$\Rightarrow {(x-\frac{9}{5})}^2+{(y-\frac{7}{5})}^2=\frac{(2x+y-1{)}^2}{2^2+1^2}$

$\Rightarrow 5(x^2-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}+y^2-\frac{14}{5}y+\frac{49}{25})=4x^2+y^2+1+4xy-2y-4x$

$\Rightarrow x^2+4y^2-14x-12y-4\mathrm{xy}+25=0$

দৃশ্যকল্প-২ হতে, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক S $(-12,6),S^{\prime }(12,6)$

$\therefore$ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $=(\frac{-12+12}{2},\frac{6+6}{2})=(0,6)$

উপকেন্দ্রিকতা, $e=3$

$\because e>1$, তাই কণিকটি অধিবৃত্ত।

অধিবৃত্তটি x অক্ষের সমান্তরাল হবে। [: উপকেন্দ্রদ্বয়ের কোটি একই]

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $2\mathrm{ae}={\mathrm{SS}}^{\prime }$

$\Rightarrow 2\times a\times 3=\sqrt{(-12-12{)}^2+(6-6{)}^2}=24$

$\Rightarrow a=\frac{24}{6}=4$

$\therefore a=4$

আবার,

$e=3$

$\Rightarrow e^2=9$

$\Rightarrow 1+\frac{b^2}{a^2}=9$

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=8$

$\Rightarrow b^2=8a^2=8\times 4^2$

$\therefore b=8\sqrt{2}$

$\therefore$ অধিবৃত্তের সমীকরণ :

$\frac{(x-0{)}^2}{4^2}-\frac{(y-6{)}^2}{(8\sqrt{2}{)}^2}=1$

$\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

যেখানে,

$X=x$

$Y=y-6$

$a=4$

$b=8\sqrt{2}$

$\therefore$ অসীমতটের সমীকরণ :

$\Rightarrow y-6=\pm \frac{8\sqrt{2}}{4}x$

$\Rightarrow \pm 2\sqrt{2}x+y-6=0$