সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: একটি রেলগাড়ি…’ ২০২৫ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, স্টেশন দুইটি $A$ ও $D$ এবং $AD=d$ রেলগাড়িটি $A$ স্টেশন থেকে যাত্রা শুরু করে সমত্বরণে $t_1$  সময়ে $B$ বিন্দুতে সর্বোচ্চ বেগ প্রাপ্ত হয়। B হতে $v$ সমবেগে $t_{2}5$  সময়ে $C$ বিন্দুতে যায়। $C$ হতে $v$ আদিবেগে সমমন্দনে $D$, স্টেশনে থামে। তাহলে মোট সময়,  $t=t_1+t_2+t_3$ 

গড়বেগ ,$w=\frac{d}{t}$

প্রশ্নমতে, $\mathrm{AB}=\frac{d}{3},\mathrm{CD}=\frac{d}{3},\mathrm{BC}=\frac{d}{3}$
বা, $\frac{0+v}{2}{t}_1=\frac{d}{3}$
বা, ${\mathrm{vt}}_1=\frac{2d}{3}$.$....\left(i\right)$
এবং $\mathrm{BC}=\frac{d}{3}={\mathrm{vt}}_2$$....\left(ii\right)$
এবং $\mathrm{CD}=\frac{d}{3}$
বা, $\left(\frac{v+0}{2}\right)t_3=\frac{d}{3}$
$\therefore {\mathrm{yt}}_3=\frac{2d}{3}$.
$\left(i\right)+\left(ii\right)+\left(iii\right)$ নং হতে পাই,

$\frac{2d}{3}+\frac{d}{3}+\frac{2d}{3}=v(t_1+t_2+t_3)$$....\left(iii\right)$

বা, $\frac{5d}{3}=\mathrm{vt}$ বা, $\frac{5}{3}\cdot \frac{d}{t}=v$
বা, $\frac{w}{v}=\frac{3}{5}[\because w=\frac{d}{t}]$

$\therefore w:v=3:5$

অর্থাৎ গড়বেগ : সর্বোচ্চ বেগ = $3:5$. (দেখানো হলো)

মনে করি, বস্তুটি প্রক্ষেপন বিন্দু হতে $d$ ও $(d+10)$ মিটার দূরবর্তী ১ মিটার উঁচু দুইটি দেয়ালের ঠিক উপর দিয়ে যায়। নিক্ষেপন বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরলে বস্তুটি $(d,5)$ এবং $(d+10,5)$ বিন্দুগামী হবে। 

$y=x\tan \alpha (1-\frac{x}{R})[R=$ আনুভূমিক পাল্লা $]$
বা, $5=d\tan {45}^{\circ }(1-\frac{d}{R})$
$\therefore 5R=d(R-d)$$.....\left(i\right)$
এবং $5=(d+10)\tan {45}^{\circ }(1-\frac{d+10}{R})$
বা, $5R=(d+10)\{R-(d+10\left)\right\}$$.....\left(ii\right)$
$\left(i\right)$ এবং $\left(ii\right)$ কে সমীকৃত করে পাই,

$d(R-d)=(d+10)\{R-(d+10\left)\right\}$

বা, $(dR-d^2)=(dR-d^2-10d+10R-10d-100)$
বা, $dR-d^2-dR+d^2+10d-10R+10d+100=0$
বা, $20d-10R+100=0$
বা, $2d-R+10=0\therefore d=\frac{R-10}{2}$
$\left(i\right)$ নং সমীকরণে $d$ এর মান বসিয়ে পাই,

$5R=\frac{R-10}{2}\cdot \{R-\left(\frac{R-10}{2}\right)\}$

বা, $5R=\frac{R-10}{2},\frac{2R-R+10}{2}$
বা, $5R=\frac{(R-10)(R+10)}{4}$
বা, $20R=R^2-(10{)}^2$
বা, $R^2-20R-100=0$

$\begin{array}{cc}\therefore R& =\frac{20\pm \sqrt{(-20{)}^2-4\cdot 1\cdot (-100)}}{2\cdot 1}\\ & =\frac{20\pm \sqrt{400+400}}{2}=(10\pm 10\sqrt{2})\end{array}$

যেহেতু  $R>0$ তাই  $R=10+10\sqrt{2}$ মিটার
নির্ণেয় আনুভূমিক পাল্লা  $R=10+10\sqrt{2}$ মিটার