সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : একটি…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ত্বরণ $=a$

$\mathrm{AB}$ অংশে : আদিবেগ $u$, সময় $t_1$, সরণ $y_1$ ত্বরণ a ।

$\therefore y_1={\mathrm{ut}}_1+\frac{1}{2}a\cdot t_1$

বা, $\frac{y_1}{t_1}=u+\frac{1}{2}{\mathrm{at}}_1.........\left(i\right)$

এবং $v=u+a{t}_1$

বা, $v-u=a{t}_1$

বা, $u-v=-a{t}_1......\left(ii\right)$

$\mathrm{BC}$ অংশে :

$y_2={\mathrm{vt}}_2+\frac{1}{2}{\mathrm{at}}_2^2$

বা, $\frac{y_2}{t_2}=v+\frac{1}{2}\mathrm{at}{t}_2........\left(iii\right)$

(i) নং হতে (iii) নং বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{y_1}{t_1}-\frac{y_2}{t_2}=u-v_1+\frac{1}{2}{\mathrm{at}}_1-\frac{1}{2}{\mathrm{at}}_2$

বা, $\frac{y_1}{t_1}-\frac{y_2}{t_2}=-{\mathrm{at}}_1+\frac{1}{2}{\mathrm{at}}_1-\frac{1}{2}{\mathrm{at}}_2^2$ [(ii) नং रতে ]

বা, $\frac{y_1}{t_1}-\frac{y_2}{t_2}=\frac{-1}{2}{\mathrm{at}}_1-\frac{1}{2}{\mathrm{at}}_2$

বা, $\frac{y_2}{t_2}-\frac{y_1}{t_1}=\frac{1}{2}a(t_1+t_2)$

$\therefore a=2(\frac{y_2}{t_2}-\frac{y_1}{t_1})/(t_1+t_2)$. (দেখানো হলো)

[বি. দ্র. প্রশ্নে ডানপক্ষে $(\frac{y_1}{t_1}-\frac{y_2}{t_2})$ এর পরিবর্তে $(\frac{y_2}{t_2}-\frac{y_1}{t_1})$ হবে]

ধরি, নিক্ষেপণ কোণ $\alpha$.

সর্বাধিক উচ্চতা, $y=\frac{u_1^2{\sin }^2\alpha }{2g}$

বা, ${\sin }^2\alpha =\frac{2\mathrm{gy}}{u_1^2}$

$\therefore \sin \alpha =\frac{\sqrt{2gy}}{u_1}$

এবং পাল্লা, $X=\frac{u_1^2\sin 2\alpha }{g}$

$=\frac{u_1^2}{g}\cdot 2\sin \alpha \cos \alpha$

$=\frac{2u_1^2}{g}\frac{\sqrt{2gy}}{u_1}\cdot \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$

$=\frac{2u_1}{g}\sqrt{2gy}\cdot \sqrt{1-\frac{2gy}{u_1^2}}$

$=2u_1\cdot \sqrt{\frac{2y}{g}}\cdot \frac{\sqrt{u_1^2-2gy}}{u_1}$

$=4\sqrt{\frac{y}{2g}}\cdot \sqrt{u_1^2-2gy}$

$=4\sqrt{\frac{y(u_1^2-2gy)}{2g}}$(প্রমাণিত)