সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: একটি ত্রিঘাত…’ যশোর বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল,

$2-3\sqrt{-1}=2-3i$

$\therefore$ অপর জটিল মূল $=2+3i$

এবং মূলত্রয়ের গুণফল = 65

ধরি, তৃতীয় মূল $=\alpha$

$\therefore (2+3i)(2-3i)\alpha =65$

$\Rightarrow (4+9)\alpha =65$

$\Rightarrow \alpha =\frac{65}{13}=5$

$\therefore$ মূলত্রয়ের যোগফল

$=2+3i+2-3i+5$

$=4+5=9$

$\therefore (2+3i)(2-3i)+(2-3i)\cdot 5+(2+3i)\cdot 5$

$=(4+9)+10-15i+10+15i$

$=13+20$

$=33$

$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণ, $x^3-9x^2+33x-65=0$

দেওয়া আছে, $l{x}^2+mx+m=0$

ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{m}{l}$ এবং $\alpha \beta =\frac{m}{l}$

প্রশ্নমতে, $\alpha :\beta =a:b$

$\Rightarrow \frac{\alpha }{\beta }=\frac{a}{b}\therefore \frac{\alpha }{\beta }=\frac{a}{b}$

$\therefore$ L.H.S $=\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{m}{l}}$

$=\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha }}+\sqrt{\alpha \beta }$

$=\frac{\alpha +\beta }{\sqrt{\alpha }\cdot \sqrt{\beta }}+\sqrt{\alpha \beta }$

$=\frac{-\frac{m}{l}+\frac{m}{l}}{\sqrt{\alpha \beta }}$

$=\frac{0}{\sqrt{\alpha \beta }}$

$=0$

$=$ R.H.S

(দেখানো হলো)