সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: একটি উপবৃত্তের…’ বরিশাল সরকারি মহিলা কলেজ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$; যেখানে, $a>b$ উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৪ একক

অর্থাৎ, $2\mathrm{ae}=8$

বা, $ae=\frac{8}{2}$

$\therefore ae=4$ ...... (i)

আবার, নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 18 একক

অর্থাৎ, $\frac{2a}{e}=18$ বা, $\frac{a}{e}=\frac{18}{2}$

$\therefore \frac{a}{e}=9$ ...... (ii)

(i)নং ও (ii)নং সমীকরণ গুণ করে পাই,

$ae\times \frac{a}{e}=4\times 9$ বা, $a^2=36$

(i) নং কে বর্গ করে পাই,

$(\mathrm{ae}{)}^2=(4{)}^2$

বা, $a^2{e}^2=16$

বা, $36\times e^2=16[\because a^2=36]$

বা, $e^2=\frac{16}{36}$ বা, $e^2=\frac{4}{9}$

আবার, উৎকেন্দিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

বা, $e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}$ [মান বসিয়ে]

বা, $\frac{b^2}{a^2}=1-\frac{4}{9}$

বা, $\frac{b^2}{a^2}=\frac{9-4}{9}$

বা, $\frac{b^2}{36}=\frac{5}{9}[\because a^2=36]$

বা, $b^2=\frac{5\times 36}{9}$ বা, $b^2=20$

$\therefore$ উপবৃত্তের সমীকরণ

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

বা, $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$

বা, $\frac{5x^2+9y^2}{180}=1$

$\therefore 5x^2+9y^2=180$

নির্ণেয় উপবৃতের সমীকরণ $5x^2+9y^2=180$.

প্রদত্ত কনিক,

$9x^2-16y^2-18x-64y-199=0$

বা, $9x^2-18x-16y^2-64y-199=0$

বা, $9(x^2-2x)-16(y^2+4y)-199=0$

বা, $9(x^2-2x+1-1)-16(y^2+4y+4-4)-199=0$

বা, $9(x^2-2\cdot x\cdot 1+1^2)-9-16(y^2+2\cdot y\cdot 2+2^2)+64-199=0$

বা, $9(x-1{)}^2-16(y+2{)}^2-144=0$

বা, $9(x-1{)}^2-16(y+2{)}^2=144$

বা, $\frac{9(x-1{)}^2}{144}-\frac{16(y+2{)}^2}{144}=1$

বা, $\frac{(x-1{)}^2}{16}-\frac{(y+2{)}^2}{9}=1$

বা, $\frac{(x-1{)}^2}{4^2}-\frac{(y+2{)}^2}{3^2}=1$; যा একটি অধিবৃত প্রকাশ করে। 

সমীকরণটিকে $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x-1,Y=y+2,a=4,b=3$

এখন, কেন্দ্র $(X=0,Y=0)$

অর্থাৎ, $X=0$

বা, $x-1=0$

বা, $x=1$

এবং Y = 0

বা, $y_0+2=0$

বা, $y=-2$

$\therefore$ কেন্দ্র $(1,-2)$

শীর্ষ $(X=\pm a,Y=0)$

অর্থাৎ, $X=\pm a$

বা; $x-1=\pm 4$

বা, $x=1\pm 4=5,-3$

এবং $Y=0$

বা, $\cdot y+2=0$

বা, $y=-2$

$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(5,-2),(-3,-2)$

উৎকেন্দ্রিকতা $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$

উপকেন্দ্র $(X=\pm \mathrm{ae},Y=0)$

অর্থাৎ, $X=\pm ae$

বা, $x-1=\pm 4\cdot \frac{5}{4}$

বা, $x-1=\pm 5$

বা, $x=1\pm 5$

বা, $x=6,-4$

এবং $Y=0$

বা, $y+2=0$

$\therefore y=-2$

$\therefore$ উপকেন্দ্র $(6,-2),(-4,-2)$

$\therefore$ দিকাক্ষের সমীকরণ :

$X=\pm \frac{a}{e}$

বা, $x-1=\pm \frac{4}{\frac{5}{4}}$

বা, $x-1=\pm 4\times \frac{4}{5}$

বা, $x-1=\pm \frac{16}{5}$

বা, $5x-5=\pm 16$

$\therefore 5x-5\pm 16=0$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের কেন্দ্র (1, 2); শীর্ষ (5, – 2), (-3,-2), উপকেন্দ্র (6,-2), (-4, -2) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ $5x-5\pm 16=0$.