সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(a)=sec−1⁡1a+sec−1⁡1b…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$g\left(\alpha \right)=\sin (\pi \cos \alpha )-\cos (\pi \sin \alpha )$

$g\left(\alpha \right)=0$ হলে, $\sin (\pi \cos \alpha )-\cos (\pi \sin \alpha )=0$

বা, $\sin (\pi \cos \alpha )=\cos (\pi \sin \alpha )$

বা, $\sin (\pi \cos \alpha )=\sin (\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin \alpha )$

বা, $\pi \cos \alpha =\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin \alpha$

বা, $\cos \alpha =\frac{1}{2}\pm \sin \alpha$

বা, $\cos \alpha \pm \sin \alpha =\frac{1}{2}$

বা, $(\cos \alpha \pm \sin \alpha {)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ [বর্গ করে]

বা, ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \pm 2\cos \alpha \cdot \sin \alpha =\frac{1}{4}$

বা, $1\pm \sin 2\alpha =\frac{1}{4}$

বা, $\pm \sin 2\alpha =\frac{1}{4}-1$

বা, $\pm \sin 2\alpha =\frac{-3}{4}$

বা, $\sin 2\alpha =\pm \frac{3}{4}$

বা, $2\alpha =\pm {\sin }^{-1}\frac{3}{4}$

$\therefore \alpha =\pm \frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{4}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(a\right)={\sec }^{-1}\frac{1}{a}+{\sec }^{-1}\frac{1}{b}$

$f\left(a\right)=\alpha$ হলে, ${\sec }^{-1}\frac{1}{a}+{\sec }^{-1}\frac{1}{b}=\alpha$

বা, ${\cos }^{-1}a+{\cos }^{-1}b=\alpha$

বা, ${\cos }^{-1}(\mathrm{ab}-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}=\alpha$

বা, $ab-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}=\cos \alpha$

বা, $\mathrm{ab}-\cos \alpha =\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}$

বা, $(ab-\cos \alpha {)}^2=(1-a^2)(1-b^2)$ [বর্গ করে]

বা, $a^2{b}^2-2ab\cos \alpha +{\cos }^2\alpha =1-b^2-a^2+a^2{b}^2$

বা, $a^2+b^2-2ab\cos \alpha =1-{\cos }^2\alpha$

বা, $a^2+b^2-2ab\cos \alpha ={\sin }^2\alpha$

বা, ${\sin }^2\alpha =a^2+b^2-2ab\cos \alpha$

$\therefore \sin \alpha =\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \alpha }$