সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=1(x−1)(x2+4)দৃশ্যকল্প-২: x=5cos⁡θ,y=3sin⁡θ…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৪ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}$

$\therefore \int x\left(x\right)dx$

$=\int x\cdot \frac{1}{(x-1)(x^2+4)}dx$

$=\int \frac{x}{(x-1)(x^2+4)}dx$

ধরি,

$\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}....\left(i\right)$

উভয়পক্ষে $(x-1)(x^2+4)$দ্বারা গুণ করে পাই,

$\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}\left\{\right(x-1\left)(x^2+4)\right\}=\frac{A}{(x-1)}\left\{\right(x-1\left)(x^2+4)\right\}+\frac{Bx+c}{x^2+4}\left\{\right(x-1\left)(x^2+4)\right\}$

$\Rightarrow x=A(x^2+4)+(x+C)(x-1)$

$\Rightarrow x=A{x}^2+4A+B{x}^2+Cx-Bx-C$

$\Rightarrow x=A{x}^2+B{x}^2+4A-Bx-Cx-C$

এখন, দেখতে হবে x এর মান কত বসালে 1টি মান বাদ।

ধরি, $x=1$

$x=A\cdot (1+4)+(B+C)(1-1)$

$\therefore A=\frac{1}{5}$

$x=x^2(A+B)+x(B-C)+(4A-C)$

$\Rightarrow x^2\cdot 0+x\cdot 1+0=x^2(A+B)+x(-B-C)+(4A-C)$

$x^2$এর সহগ আলাদা করে পাই,

$0=A+B\Rightarrow 0=\frac{1}{5}+B$

$\therefore B=-\frac{1}{5}$

ধ্রুবক পদ আলাদা করে পাই,

$0=4A-C$

$\Rightarrow C=4A=4\times \frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

$\therefore A=\frac{1}{5},B=\frac{-1}{5},C=\frac{4}{5}$

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,

$\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{Bx+C}{(x^2+4)}$

$=\frac{\frac{1}{5}}{(x-1)}+\left(\frac{-\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}}{x^2+4}\right)$

$=\frac{1}{5(x-1)}+\frac{4-x}{5(x^2+4)}$

$=\frac{1}{5}\{\frac{1}{x-1}+\frac{4-x}{(x^2+4)}\}$

যোগজীকরণ চিহ্ন নিয়ে পাই,

$\int \frac{x}{(x-1)(x^2+4)}dx=\frac{1}{5}\int \frac{1}{x-1}dx+\frac{1}{5}\int \frac{4-x}{x^2+4}dx$

$=\frac{1}{5}\int \frac{1}{x-1}dx+\frac{1}{5}\int \frac{4}{x^2+4}dx-\frac{1}{5}$

$\int \frac{x}{x^2+4}dx$

$=\frac{1}{5}\int \frac{1}{x-1}dx+\frac{4}{5}\int \frac{1}{x^2+4}dx-\frac{1}{5}\int \frac{x}{x^2+4}dx$

$=\frac{1}{5}\int \frac{1}{x-1}dx+\frac{4}{5}\int \frac{1}{x^2+2^2}dx-\frac{1}{5\cdot 2}\int \frac{2x}{x^2+4}dx$

$=\frac{1}{5}\ln |x-1|+\frac{4}{5}\cdot {\tan }^{-1}\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{10}\cdot \ln |x^2+4|+c$ Ans.

দেওয়া আছে,

$x=5\cos \theta$

$3x=15\cos \theta ....\left(i\right)$

$y=3\sin \theta$

$5y=15\sin \theta .....\left(ii\right)$

$(i^2+i{i}^2)\Rightarrow 9x^2+25y^2={15}^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )$

$\Rightarrow 9x^2+25y^2=225.$

$\Rightarrow y^2=\frac{9}{25}(25-x^2)$

$\Rightarrow y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{25-x^2}$

$\therefore$ ক্ষেত্র OAB এর ক্ষেত্রফল

$\Rightarrow y=\frac{3}{5}\sqrt{25-x^2}$ বক্ররেখা, x অক্ষ

এবং, $x=0$ ও $x=5$কোটিদ্বয় দ্বারা

সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$={\int }_0^5\frac{3}{5}\sqrt{25-x^2}dx$

$=\frac{3}{5}{\int }_0^5\sqrt{5^2-x^2}dx$

$=\frac{3}{5}{[\frac{x\sqrt{5^2-x^2}}{2}+\frac{5^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{5}]}_0^5$

$=\frac{3}{5}\{\frac{5\sqrt{5^2-5^2}}{2}+\frac{5^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{5}{5}-\frac{5^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{0}{5}\}$

$=\frac{3}{5}(0+\frac{25}{2}\times \frac{\pi }{2}-0)$

$=\frac{15\pi }{4}$

$\therefore$ প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল $=4\times \cos 9OAB$

$=4\times \frac{15\pi }{4}$

$=15\pi$ বর্গ একক