সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=12×4−x3−x2.দৃশ্যকল্প-২: 9×2+16y2=144.…’ ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $y=f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-6x+8$
x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\begin{array}{cc}& \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\cdot 3x^2+\frac{1}{2}\cdot 2x-6\cdot 1+0\\ & \therefore \frac{dy}{dx}=x^2+x-6\end{array}$

পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2x+1$

চরম মানের জন্য $\frac{dy}{dx}=0$
বা, $x^2+x-6=0$
বা, $x^2+3x-2x-6=0$
বা, $x(x+3)-2(x+3)=0$
বা, $(x+3)(x-2)=0$

$\therefore x=-3,2$

এখন, $x=-3$ হলে,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2(-3)+1=-5<0$

সুতরাং $x=-3$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান ।
∴ সর্বোচ্চ মান, $y_{\text{max }}=\frac{1}{3}(-3{)}^3+\frac{1}{2}(-3{)}^2-6(-3)+8=\frac{43}{2}$

$x=2$ হলে, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2\left(2\right)+1=5>0$

সুতরাং $x=2$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বনিন্ন মান বিদ্যমান।
∴ সর্বনিম মান, $y_{min}=\frac{1}{3}\times 2^3+\frac{1}{2}\times 2^2-6\times 2+8=\frac{2}{3}$
$\therefore f\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিন্ন মান যথাক্রমে $\frac{43}{2}$ ও $\frac{2}{3}$.

দেওয়া আছে, $9x^2+16y^2=144$$....\left(i\right)$

এবং $x=2$
(i) নং হতে পাই, $9x^2+16y^2=144$

বা, $16y^2=144-9x^2$
বা, $y^2==\frac{1}{16}(144-9x^2)$
$\therefore y=\frac{1}{4}\sqrt{144-9x^2}$$....\left(1\right)$ [ $\because x$-অক্ষের উপরে $y$ ধনাত্মক] 

(1) নং সমীকরণে $y=0$ বসিয়ে পাই, 

$0=\frac{1}{4}\sqrt{144-9x^2}$ 

বা, $0=\sqrt{144-9x^2}$
বা, $9x^2=144$
বা, $x^2=\frac{144}{9}=16$
$\therefore x=\pm 4$ 

প্রদত্ত রেখা, $x-2=0$ বা, $x=2$$....\left(2\right)$

বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রে সীমা $x=-4$ থেকে $x=2$

∴ (1) নং উপবৃত্ত এবং (2) নং রেখা দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রফল

$\begin{array}{cc}& =2{\int }_{-4}^{2}ydx\\ & =2{\int }_{-4}^2\frac{1}{4}\sqrt{144-9x^2}\\ & =2\times \frac{1}{4}{\int }_{-4}^2\sqrt{9(16-x^2)}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-4}^{2}3\sqrt{4^2-x^2}dx\\ & =\frac{3}{2}{\int }_{-4}^2\sqrt{4^2-x^2}dx\\ & =\frac{3}{2}{[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{4}]}_4^2[\int \sqrt{a^2-x^{2}dx}=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}{\sin }^{-\frac{x}{a}}]\\ & =\frac{3}{2}[(\frac{2\sqrt{4^2-2^2}}{2}+8{\sin }^{-1}\frac{2}{4})-(\frac{-4\sqrt{4^2-(-4{)}^2}}{2}+8{\sin }^{-1}\frac{-4}{4})]\\ & =\frac{3}{2}\{\sqrt{12}+8{\sin }^{-1}\frac{1}{2}+0-8{\sin }^{-1}(-1\left)\right\}\\ & =\frac{3}{2}\{2\sqrt{3}+8\times \frac{\pi }{6}-8\times (-\frac{\pi }{2})\}\end{array}$

$=3\sqrt{3}+2\pi +6\pi =8\pi +3\sqrt{3}$ বর্গ একক 

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $(8\pi +3\sqrt{3})$ বর্গ একক।