সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=1x+1l−x−1…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{l-x}-\frac{1}{m}$

আবার, $f\left(x\right)=0$

বা, $\frac{1}{x}+\frac{1}{l-x}-\frac{1}{m}=0$

বা, $\frac{m(l-x)+\mathrm{mx}-x(l-x)}{\mathrm{mx}(l-x)}$

বা, $\frac{\mathrm{ml}-\mathrm{mx}+\mathrm{mx}-lx+x^2}{\mathrm{mx}(l-x)}=0$

বা, $x^2-lx+lm=0$ ......... (i)

মনে করি, (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$; যেখানে $\alpha >\beta$.

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{-l}{1}=l$

$\alpha \beta =\frac{\mathrm{lm}}{1}=\mathrm{lm}$

শর্তমতে, $\alpha -\beta =n$

বা, $(\alpha -\beta {)}^2=n^2$ [বর্গ করে]

বা, $(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =n^2$

বা, $l^2-4lm-n^2=0$,

$l=\frac{-(-4m)\pm \sqrt{(-4m{)}^2-4.1(-n^2)}}{2.1}$$=\frac{4m\pm \sqrt{16m^2+4n^2}}{2}$

$=\frac{4m\pm \sqrt{4(4m^2+n^2)}}{2}$

$=\frac{4m\pm 2\sqrt{4m^2+n^2}}{2}=2m\pm \sqrt{4m^2+n^2}$

$\therefore l=2m\pm \sqrt{4m^2+n^2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^2+\frac{9}{p}x+\frac{r}{p}$

এবং $g\left(x\right)=0$

বা, $x^2+\frac{q}{p}x+\frac{r}{p}=0$

বা, $\frac{p{x}^2+qx+r}{p}=0$

বা, ${\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+r=0$ ....... (i)

মনেকরি, (i) নং সমীকরণের একটি মূল $\alpha$

$\therefore$ অপর মূলটি ${\alpha }^2$

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=-\frac{q}{p}$. ....... (ii)

এবং $\alpha \times {\dot{\alpha }}^2=\frac{r}{p}$

$\therefore {\alpha }^3=\frac{r}{p}$ .......... (iii)

এখন, ${\left(\frac{p-q}{r-q}\right)}^3={\left(\frac{\frac{p-q}{p}}{\frac{r-q}{p}}\right)}^3$

$={\left(\frac{1-\frac{q}{p}}{\frac{r}{p}-\frac{q}{p}}\right)}^3$

$={\left(\frac{1+\alpha +{\alpha }^2}{{\alpha }^3+\alpha +{\alpha }^2}\right)}^3$ [|(ii) নং ও (iii) নং হতে]

$={\left\{\frac{1+\alpha +{\alpha }^2}{\alpha (1+\alpha +{\alpha }^2)}\right\}}^3={\left(\frac{1}{\alpha }\right)}^3=\frac{1}{{\alpha }^3}=\frac{1}{\frac{r}{p}}=\frac{p}{r}$

$\therefore \frac{p}{r}={\left(\frac{p-q}{r-q}\right)}^3$

আবার, (ii) নং সমীকরণকে ঘন করে পাই,

${(\alpha +{\alpha }^2)}^3={(-\frac{q}{p})}^3$

বা, ${\alpha }^3+{\left({\alpha }^2\right)}^3+3\cdot \alpha \cdot {\alpha }^2(\alpha +{\alpha }^2)=-\frac{q^3}{p^3}$

বা, ${\alpha }^3+{\left({\alpha }^3\right)}^2+3{\alpha }^3(\alpha +{\alpha }^2)=-\frac{q^3}{p^3}$

বা, $\frac{r}{p}+\frac{r^2}{p^2}+\frac{3r}{p}(-\frac{q}{p})=-\frac{q^3}{p^3}$

বা, $\frac{r}{p}+\frac{r^2}{p^2}-\frac{3rq}{p^2}=-\frac{q^3}{p^3}$

বা, $\frac{rp+r^2-3rq}{p^2}=-\frac{q^3}{p^3}$

বা, $-r(3q-p-r)=-\frac{q^3}{p}$

$\therefore 3q-p-r=\frac{q^3}{\mathrm{pr}}$

$\frac{p}{r}={\left(\frac{p-q}{r-q}\right)}^3$ এবং $3q-p-r=\frac{q^3}{pr}$ (দেখানো হলো)