সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=(1−x2)y2−xy1−a2yদৃশ্যকল্প-২…’ চট্টগ্রাম কলেজ ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছ, $\ln y=a{\sin }^{-1}x$
বা, $\frac{d}{dx}\ln y=\frac{d}{dx}{a}^{-1}{\sin }^{-1}x$
বা, $\frac{1}{y}{y}_1=a\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
বা, $\frac{y_1^2}{y^2}=\frac{a^2}{1-x^2}$ [বর্গ করে]
বা, $(1-x^2)y_1{}^2=a^2{y}^2$
বা, $\frac{d}{dx}(1-x^2)y_1{}^2=\frac{d}{dx}{a}^2{y}^2$
বা, $(1-x^2)\frac{d}{dx}{y}_1{}^2+y_1{}^2\frac{d}{dx}(1-x^2)=a^2\cdot 2y\cdot y_1$
বা, $(1-x^2)2y_1\cdot y_2+y_1^2(-2x)=2a^{2}y\cdot y_1$
বা, $(1-x^2)y_2-x{y}_1=a^{2}y$
বা, $(1-x^2)y_2-x{y}_1-a^{2}y=0$
$\therefore f\left(x\right)=0$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $y=(1+x{)}^2(3-x)$ ..........................(i)

বা, $y=(1+2x+x^2)(3-x)$
বা, $y=3-x+6x-2x^2+3x^2-x^3$
বা, $y=3+5x+x^2-x^3$
বা, $\frac{dy}{dx}=0+5.1+2x-3x^2=5+2x-3x^2$

স্পর্শক অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করলে,

$\frac{dy}{dx}=\pm 1$

বা, $5+2x-3x^2=\pm 1$
( + নিয়ে), $5+2x-3x^2=1$
বা, $3x^2-2x-4=0$
বা, $x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4.3\cdot (-4)}}{2.3}$

$=\frac{2\pm \sqrt{52}}{6}=\frac{2\pm 2\sqrt{13}}{2\times 3}=\frac{2(1\pm \sqrt{13})}{2\times 3}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{3}$

(- নিয়ে) $5+2x-3x^2=-1$
বা, $3x^2-2x-6=0$
বা, $x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-6)}}{2\cdot 3}$

$=\frac{2\pm \sqrt{76}}{6}=\frac{2\pm 2\sqrt{19}}{6}=\frac{1\pm \sqrt{19}}{3}$

নির্ণেয় ভুজ : $\frac{1\pm \sqrt{13}}{3},\frac{1\pm \sqrt{19}}{3}$.