সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=2×2−3x+2দৃশ্যকল্প-২ :…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৯ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sqrt{2}{x}^2-3x+\sqrt{2}$

$\therefore f(\sin \theta )=\sqrt{2}{\sin }^2\theta -3\sin \theta +\sqrt{2}$

এখানে, $f(\sin \theta )=0$

বা, $\sqrt{2}{\sin }^2\theta -3\sin \theta +\sqrt{2}=0$

বা, $\sqrt{2}{\sin }^2\theta -2\sin \theta -\sin \theta +\sqrt{2}=0$

বা, $\sqrt{2}\sin \theta (\sin \theta -\sqrt{2})-1(\sin \theta -\sqrt{2})=0$

বা, $(\sin \theta -\sqrt{2})(\sqrt{2}\sin \theta -1)=0$

বা, $\sqrt{2}\sin \theta -1=0[\because (\sin \theta -\sqrt{2})\ne 0]$

বা, $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}$

$\therefore \theta =n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{4}$, যেখানে $n\in Z$

নির্ণেয় সমাধান, $\theta =n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{4};$ যেখানে $n\in Z$.

দেওয়া আছে,

$A=2{\sin }^{-1}\frac{1}{3}+{\cos }^{-1}\sqrt{\frac{2}{3}}$

$=2{\tan }^{-1}\frac{1}{2\sqrt{2}}+{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}$

$={\tan }^{-1}\frac{2\times \frac{1}{2\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{8}}+{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}$

$={\tan }^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{8}{7})+{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}$

$={\tan }^{-1}\frac{4\sqrt{2}}{7}+{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{4\sqrt{2}}{7}+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{4\sqrt{2}}{7}\times \frac{1}{\sqrt{2}}}={\tan }^{-1}\frac{\frac{8+7}{7\sqrt{2}}}{\frac{7\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}}$

$={\tan }^{-1}\frac{15}{3\sqrt{2}}={\tan }^{-1}\frac{5}{\sqrt{2}}$

$\therefore A={\tan }^{-1}\frac{5}{\sqrt{2}}$ (প্রমাণিত)