সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প ১: f(x)=2×3−21×2+36x−20.দৃশ্যকল্প…’ শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=2x^3-21x^2+36x-20$

$\therefore f\left(x\right)=6x^2-42x+36$

$\therefore f^{\prime }\left(x\right)=12x-42$

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য, $h^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $6x^2-42x+36=0$

বা, $x^2-7x+6=0$

বা, $x^2-6x-x+6=0$

বা, $x(x-6)-1(x-6)=0$

বা, $(x-6)(x-1)=0$

হয়, $x-6=0$

$\therefore x=6$

অথবা, $x-1=0$

$\therefore x=1$

এখন, $x=1$ হলে, $h^{\prime \prime }\left(1\right)=12.1-42=-30<0$

$\therefore x=1$ এর জন্য $h\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।

∴ ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান, $h\left(1\right)={2.1}^3-{21.1}^2+36.1-20$

$=2-21+36-20=-3$

আবার, $x=6$ হলে, $h^{\prime \prime }\left(6\right)=12.6-42=30>0$

$\therefore x=6$ এর জন্য $h\left(x\right)$ এর সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।

∴ ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান,

$h\left(6\right)={2.6}^3-{21.6}^2+36.6-20$

$=432-756+216-20=-128$

নির্ণেয় ফাংশনটির সর্বোচ্চমান - 3 এবং সর্বনিম্নমান - 128.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\sin x$ এবং $x=\cos \alpha$ বা, $\alpha ={\cos }^{-1}\left(x\right)$

এখানে, $y=g\left(a\alpha \right)$

বা, $y=\sin \left(a\alpha \right)=\sin \left(a^{-1}x\right)$ ...... (1)

$x$-এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $\frac{dy}{dx}=\cos (a{\cos }^{-1}x)\frac{d}{dx}(a{\cos }^{-1}x)$

বা, $y_1=\cos (a{\cos }^{-1}x)\left\{\frac{-a}{\sqrt{1-x^2}}\right\}$

বা, $y_1{}^2=\frac{a^2{\cos }^2(a{\cos }^{-1}x)}{1-x^2}$ [বর্গ করে]

বা, $(1-x^2)y_1^2=a^2\{1-{\sin }^2(a{\cos }^{-1}x)\}$

বা, $(1-x^2)y_1^2=a^2(1-y^2)[\because$ (i) নং হতো $]$

আবার, $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{dx}\left\{(1-x^2)y_1^2\right\}=a^2\frac{d}{dx}(1-y^2)$

বা, $(1-x^2)\frac{d}{d{x}^2}{y}_1{}^2+y_1{}^2\frac{d}{dx}(1-x^2)=-a^{2}2\frac{dy}{dx}$

বা, $(1-x^2)2y_1{y}_2-2x{y}_1^2=-2a^{2}y{y}_1$

বা, $2y_1\{(1-x^2)y_2-x{y}_1\}=-2a^{2}y{y}_1$

বা, $(1-x^2)y_2-x{y}_1+a^{2}y=0$ [উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore (1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-\frac{dy}{dx}+a^{2}y=0$. (প্রমাণিত)