সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=2×3−35×2+175x−250দৃশ্যকল্প-২:…’ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=2x^3-35x^2+175x-250$

$f\left(x\right)=0$  হলে, $2x^3-35x^2+175x-250=0$$......\left(1\right)$

ধরি, $\left(i\right)$ নং সমীকরণের মূলগুলো $\frac{a}{r}$, $a,ar$
মূল ও. সহগের সম্পর্ক থেকে পাই,

$\frac{a}{r}+a+ar=-\frac{-35}{2}=\frac{35}{2}$$......\left(2\right)$

এবং $\frac{a}{r}.a\cdot \mathrm{ar}=-\frac{-250}{2}=125$
বা, $a^3=5^3$

$\therefore a=5$

$a$ এর মান $\left(2\right)$নং.সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{5}{r}+5+5r=\frac{35}{2}$

বা, $\frac{5+5r+5r^2}{r}=\frac{35}{2}$
বা, $10+10r+10r^2=35r$
বা, $10r^2-25r+10=0$
বা, $2r^2-5r+2=0$ বा, $2r^2-4r-r+2=0$
বা, $2r(r-2)-1(r-2)=0$
বা, $(r-2)(2r-1)=0$
$\therefore r=2$ অথবা  $r=\frac{1}{2}$
এখন, $r=2$ হলে, মূলগুলো হয়  $\frac{5}{2},5,10$
এবং $r=\frac{1}{2}$ হলে, মূলগুলো হয় $10,5,\frac{5}{2}$
নির্ণেয়  সমাধান $=(\frac{5}{2},5,10)$

দেওয়া আছে, $z_1=a+ib$
এবং  ${\left|z_1\right|}^2=1$
বা. $|a+ib{|}^2=1$
বা. ${\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2=1$

$\therefore a^2+b^2=1$

আবার, $z_1=a+ib$

$\therefore {\overline{z}}_1=a-ib$

এবং $z_2=1+\mathrm{ix}$

$\therefore {\overline{z}}_2=1-ix$

এখন, ${\overline{z}}_2={\overline{z}}_1\cdot z_2$
বা, $1-ix=(a-ib)(1+ix)$
বা, $\frac{1-ix}{1+ix}=a-ib$
বা, $\frac{1+ix}{1-ix}=\frac{1}{a-ib}$ [বिপরীতকরণ করে]
বা, $\frac{1+ix-1+ix}{1+ix+1-ix}=\frac{1-a+ib}{1+a-ib}$ [বিয়োজন-যোজন করে]
বা, $\frac{2ix}{2}=\frac{(1-a+ib)(1+a+ib)}{(1+a-ib)(1+a+ib)}$
বা, $ix=\frac{(1+ib-a)(1+ib+a)}{(1+a{)}^2-(ib{)}^2}$

$\begin{array}{cc}& =\frac{(1+ib{)}^2-a^2}{1+2a+a^2-i^2{b}^2}=\frac{1+2ib+i^2{b}^2-a^2}{1+2a+a^2+b^2}[\because i^2=-1]\\ & =\frac{1+2ib-(a^2+b^2)}{1+2a+a^2+b^2}=\frac{1+2ib-1}{1+2a+1}[\because a^2+b^2=1]\end{array}$

বা, $ix=\frac{2ib}{2(1+a)}=\frac{ib}{1+a}$
$\therefore x=\frac{b}{1+a}$, বা $x$ এর একটি বাস্তব মান এবং এটি  ${\bar{z}}_2={\bar{z}}_1\cdot z_2$
সমীকরণকে সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)।