সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=2×3−3×2−6x+20দৃশ্যকল্প-২: g(t)=et.…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বক্ররেখা, $f\left(x\right)=2x^3-3x^2-6x+20$

ধরি, $y=f\left(x\right)=2x^3-3x^2-6x+20$

বক্রেরখাটি $y$ অক্ষকে ছেদ করলে, $x=0$

$\therefore y=2(0{)}^3-3(0{)}^2-6\left(0\right)+20$

$\therefore y=20$

অর্থাৎ, বক্ররেখাটি $y$ অক্ষকে $(0,20)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

এখন, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2.3x^2-3.2x-6.1+0$$=6x^2-6x-6=6(x^2-x-1)$

$\therefore (0,20)$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল, $m=\frac{dy}{dx}=6(0-0-1)=-6$

$(0,20)$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, $y-20=-6(x-0)$

বা, $y-20=-6x$

$\therefore 6x+y-20=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ : $6x+y-20=0$

দেওয়া আছে, $g\left(t\right)=e^t$

ধরি, $y=16g\left(3x\right)+25g(-3x)$

$\therefore y=16e^{3x}+25e^{-3x}$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=16\frac{d}{dx}\left(e^{3x}\right)+25\frac{d}{dx}\left(e^{-3x}\right)$

বা, $\frac{dy}{dx}=16\times 3e^{3x}+25(-3)e^{-3x}=48e^{3x}-75e^{-3x}$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=48\frac{d}{dx}\left(e^{3x}\right)-75\frac{d}{dx}\left(e^{-3x}\right)$

বা, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=48\times 3e^{3x}+75\times 3e^{-3x}=144e^{3x}+225e^{-3x}$

চরম মানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$

বা, $48e^{3x}-75e^{-3x}=0$

বা, $48e^{3x}=75e^{-3x}$

বা, $\frac{e^{3x}}{e^{-3x}}=\frac{75}{48}=\frac{25}{16}$

বা, $e^{3x+3x}=\frac{25}{16}$

বা, $e^{6x}=\frac{25}{16}$

বা, ${\left(e^{3x}\right)}^2={\left(\frac{5}{4}\right)}^2$

বা, $e^{3x}=\frac{5}{4}$

বা, $\ln e^{3x}=\ln \frac{5}{4}$

বা, $3x=\ln \frac{5}{4}$

$\therefore x=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}$

$x=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}$ এর জন্য $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

$=144e^{3\cdot \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}}+225e^{+3\cdot \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}}$

$=144e^{\ln \frac{5}{4}}+\frac{225}{\frac{5}{4}}$

$=144\times \frac{5}{4}+\frac{225}{\frac{5}{4}}=180+180$

$=360>0$

$\therefore x=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}$ বিন্দুতে $y$ এর লঘুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ লঘুমান $=16e^{3\cdot \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}}+\frac{25}{e^{3\cdot \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}}}$

$=16\times \frac{5}{4}+25\times \frac{4}{5}=20+20=40$

নির্ণেয় লঘুমান 40.