সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=2x+73x−2;x∈R−{23}দশ্যকক্ল-২: A→=2i^+3j^−k^,B→=i^+2j^−k^,C→=i^+bj^+3k^.…’ সরকারি মাইকেল মধুসূদন (এম.এম) কলেজ ২০২৬ – ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k},\overrightarrow{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$
এবং $\overrightarrow{C}=\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k}$

$\therefore |\overrightarrow{A}|=\sqrt{2^2+3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$
$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})\cdot (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})=2+6+1=9$

$\overrightarrow{A}$ ভেক্টর বরাবর $\overrightarrow{B}$ ভেক্টরের উপাংশ

$=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}{|}^2}\cdot \overrightarrow{A}$
$=\frac{9}{(\sqrt{14}{)}^2}\cdot (2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})$
$=\frac{9}{14}(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})$
$=\frac{9}{7}\hat{i}+\frac{27}{14}\hat{j}-\frac{9}{14}\hat{k}$

$\overrightarrow{A}$ ভেক্টর বরাবর $\overrightarrow{B}$ ভেষ্টরের উপাংশ $\overrightarrow{C}$ ভেষ্টরের সাথে লম্ব হলে,

$(\frac{9}{7}\hat{i}+\frac{27}{14}\hat{j}-\frac{9}{14}\hat{k})\cdot \overrightarrow{C}=0$

বা, $(\frac{9}{7}\hat{i}+\frac{27}{14}\hat{j}-\frac{9}{14}\hat{k})\cdot (\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k})=0$

বা, $\frac{9}{7}+\frac{27}{14}b-\frac{27}{14}=0$
বা, $\frac{27}{14}b-\frac{9}{14}=0$
বা, $\frac{27}{14}b=\frac{9}{14}$
বা, $b=\frac{9\times 14}{14\times 27}=\frac{1}{3}$
নির্ণেয় মান : $b=\frac{1}{3}$.

এখানে, $f\left(x\right)=\frac{2x+7}{3x-2}:x\in R-\left\{\frac{2}{3}\right\}$

ধরি, $y=f\left(x\right)=\frac{2x+7}{3x-2}$

এখন, $y=f\left(x\right)$
বা, $f^{-1}\left(y\right)=x$

আবার, $y=\frac{2x+7}{3x-2}$
বা, $3xy-2y=2x+7$
বা, $3xy-2x=2y+7$
বা, $x(3y-2)=2y+7$
বা, $x=\frac{2y+7}{3y-2}$
বা, $f^{-1}\left(y\right)=\frac{2y+7}{3y-2}$
বা, $f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x+7}{3x-2}$
$\therefore f^{-1}\left(x\right)=f\left(x\right)$. (দেখানো হলো)