সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=3×2+2x+7দৃশ্যকল্প-২ :…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে,

$f\left(x\right)=3x^2+2x+7=y$

$\Rightarrow y_1=6x+2$

$(2,23)$ বিন্দুতে y_1(2,23) =6 × 2+2=14

$\therefore (2,23)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ :

$y-23=14(x-2)$

$\Rightarrow y-23=14x-28$

$\Rightarrow 14x-y-5=0$

$(2,23)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,

$y-23=-\frac{1}{14}(x-2)$

$\Rightarrow 14y-322=-x+2$

$\Rightarrow 14x-y-5=0$

$x+14y-324=0$

$\Rightarrow$ নির্ণেয় স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ,

$14x-y-5=0$ এবং $x+14y-324=0$

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

$g\left(x\right)=54x-(2x-7{)}^3$

$g^{\prime }\left(x\right)=54-3(2x-7{)}^2\cdot 2=54-6(2x-7{)}^2$

এবং $g^{\prime \prime }\left(x\right)=-6\cdot 2(2x-7)\cdot 2=-48x+168$

গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, $g^{\prime }\left(x\right)=0$ বা, $54-6(2x-7{)}^2=0$

বা, $(2x-7{)}^2=9$ বা, $4x^2-28x+49-9=0$

বা, $4x^2-28x+40=0$ বা, $x^2-7x+10=0$

বা, $x^2-5x-2x+10=0$ বা, $x(x-5)-2(x-5)=0$

বা, $(x-5)(x-2)=0\therefore x=2,5$

এখন, $g^{\prime \prime }\left(2\right)=-48\times 2+168=72>0$

$\therefore x=2$ বিন্দুতে $g\left(x\right)$ এর লঘুমান বিদ্যমান এবং

লঘুমান $=54\left(2\right)-(2\times 2-7{)}^3=135$ (Ans.)

আবার, $g^{\prime \prime }\left(5\right)=-48\times 5+168=-72<0$

$\therefore x=5$ বিন্দুতে $g\left(x\right)$ এর গুরুমান বিদ্যমান আছে এবং

গুরুমান $=54\left(5\right)-(2\times 5-7{)}^3=243$ (Ans.)