সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=3×2+5xদৃশ্যকল্প-২…’ ২০১৮ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ : অনুসারে, $f\left(x\right)=3x^2+5x$

দেওয়া আছে, $=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ -1& 4& 3\\ 4& -7& 5\end{array}\right)$

$\therefore f\left(A\right)=3A^2+5A$

$\therefore A^2=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ -1& 4& 3\\ 4& -7& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ -1& 4& 3\\ 4& -7& 5\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}4-1+20& 2+4-35& 10+3+25\\ -2-4+12& -1+16-21& -5+12+15\\ 8+7+20& 4-28-35& 20-21+25\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}23& -29& 38\\ 6& -6& 22\\ 35& -59& 24\end{array}\right)$

$\therefore f\left(A\right)=3\left(\begin{array}{ccc}23& -29& 38\\ 6& -6& 22\\ 35& -59& 24\end{array}\right)+5\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ -1& 4& 3\\ 4& -7& 5\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}69& -87& 114\\ 18& -18& 66\\ 105& -177& 72\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}10& 5& 25\\ -5& 20& 15\\ 20& -35& 25\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}79& -82& 139\\ 13& 2& 81\\ 125& -212& 97\end{array}\right)$

দেওয়া আছে, $\left[\begin{array}{ccc}l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\\ l^3-1& m^3-1& n^3-1\end{array}\right]$

$\therefore |B|=\left[\begin{array}{ccc}1& m& n\\ l^2& m^2& n^2\\ l^3-1& m^3-1& n^3-1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\\ l^3& m^3& n^3\end{array}\right]-\left|\begin{array}{ccc}l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$

$=\mathrm{lmn}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}l& m& n\\ 1& 1& 1\\ l^2& m^2& n^2\end{array}\right|$

$=\mathrm{lmn}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\end{array}\right|$

$=(\mathrm{lmn}-1)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ l& m& n\\ l^2& m^2& n^2\end{array}\right|$

$=(\mathrm{lmn}-1)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ l-m& m-n& n\\ l^2-m^2& m^2-n^2& n^2\end{array}\right|$

$[c_1^{\prime }=c_1-c_2$ এবং $c_2^{\prime }=c_2-c_3]$

$=(l\mathrm{mn}-1)\left|\begin{array}{cc}l-m& m-n\\ (l-m)(l+m)& (m+n)(m-n)\end{array}\right|$

$=(lmn-1)(l-m)(m-n)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ l+m& m+n\end{array}\right|$

$=(l\mathrm{mn}-1)(l-m)(m-n)(m+n-l-m)$

$\therefore |B|=(l\mathrm{mn}-1)(l-m)(m-n)(n-l)$. (প্রমাণিত)