সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=3×3−2×2+x−4দৃশ্যকল্প-২:…’ রংপুর সরকারি কলেজ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=3x^3-2x^2+x-4$

এবং $f\left(x\right)=0$

বা, $3x^3-2x^2+x-4=0$

সমীকরণটির মূলত্রয় $a,b,c$

$\therefore a+b+c=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}$

$ab+bc+ca=\frac{1}{3}$

$abc=-\frac{-4}{3}=\frac{4}{3}$

$\Sigma \frac{1}{a^{2}b}=\frac{1}{a^{2}b}+\frac{1}{a^{2}c}+\frac{1}{b^{2}c}+\frac{1}{b^{2}a}+\frac{1}{c^{2}a}+\frac{1}{c^{2}b}$

$=\frac{b{c}^2+b^{2}c+c{a}^2+c^{2}a+a{b}^2+a^{2}b}{a^2{b}^2{c}^2}$

$=\frac{(a^{2}b+c{a}^2+abc)+(b^{2}c+a{b}^2+abc)+(b{c}^2+a{c}^2+abc)-3abc}{a^2{b}^2{c}^2}$

$=\frac{a(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)-3abc}{a^2{b}^2{c}^2}$

$=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc}{(abc{)}^2}$

$=\frac{\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}-3\times \frac{4}{3}}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}$

$=\frac{\frac{2}{9}-4}{\frac{16}{9}}=\frac{-34}{9}\times \frac{9}{16}=-\frac{17}{8}$

নির্ণেয় মান : $-\frac{17}{8}$.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^4+3x^3+x^2+13x+30$ এবং $g\left(x\right)=0$

বা, $x^4+3x^3+x^2+13x+30=0$ ....... (i)

(i) নং সমীকরণের একটি মূল $1-2i$

আমরা জানি, জটিল মূলগুলি যুগলরূপে থাকে।

সুতরাং সমীকরণটির অপর একটি মূল $1+2i$

$(1+2i)$ ও $(1-2i)$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ,

$x^2$ - (মূলদ্বয়ের যোগফল $x+$ মূলদ্বয়ের গুণফল $=0$

বা, $x^2-(1+2i+1-2i)x+(1+2i)(1-2i)=0$

বা, $x^2-2x+1-4i^2=0$

বা, $x^2-2x+1+4=0[\because i^2=-1]$

$\therefore x^2-2x+5=0$

এখানে, $x^2-2x+5$ রাশিটি (i) নং এর একটি উৎপাদক।

এখন, $x^4+3x^3+x^2+13x+30=0$

বা, $x^4-2x^3+5x^2+5x^3-10x^2+25x+6x^2-12x+30=0$

বা, $x^2(x^2-2x+5)+5x(x^2-2x+5)+6(x^2-2x+5)=0$

বা, $(x^2-2x+5)(x^2+5x+6)=0$

$\therefore$ হয় $x^2-2x+5=0$

$\therefore x=1+2i,1-2i$

অথবা, $x^2+5x+6=0$

বা, $(x+3)(x+2)=0$

$\therefore x=-3,-2$

$\therefore$ সমীকরণটির নির্ণেয় সমাধান, $x=-3,-2,1+2i,1-2i$.