সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:f(x)=a2emx+b2e−mx,a,b,m>0দৃশ্যকল্প-২: x2+y2−10x−8y+16=0…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=a^2{e}^{mx}+b^2{e}^{-mx}$

বা, $f^{\prime }\left(x\right)=a^{2}m\cdot e^{mx}-b^{2}m{e}^{-mx}$

বা, $f^{\prime \prime }\left(x\right)=a^2{m}^2{e}^{mx}+b^2{m}^2{e}^{-mx}$

ফাংশনটির চরম বিন্দুতে,

বা, $f^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $a^{2}m{e}^{mx}-b^{2}m{e}^{-mx}=0$

বা, $a^2{e}^{mx}=b^2{e}^{-mx}$

বা, $a^2{\left(e^{mx}\right)}^2=b^2$

বা, ${\left(e^{mx}\right)}^2=\frac{b^2}{a^2}$

বা, $e^{mx}=\frac{b}{a}$

বা, $x=\frac{1}{m}\ln \frac{b}{a}$

এখন, $x=\frac{1}{m}\ln \frac{b}{a}$ হলে, $f^{\prime \prime }(\frac{1}{m}\ln \frac{b}{a})=a^2{m}^2\cdot \frac{b}{a}+b^2{m}^2\cdot \frac{a}{b}$$=ab{m}^2+ab{m}^2$

$=2ab{m}^2>0$

$\therefore x=\frac{1}{m}\ln \frac{b}{a}$ এর জন্য $f\left(x\right)$ এর লঘুমান বিদ্যামান

$\therefore$ লঘুমান $f(\frac{1}{m}\ln \frac{b}{a})=a^2\frac{b}{a}+b^2\cdot \frac{a}{b}$

$=ab+ab=2ab$

নির্ণেয় মান $2ab$.

দেওয়া আছে, $x^2+y^2-10x-8y+16=0$

উভপক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই

বা, $2x+2y\frac{dy}{dx}-10-8\frac{dy}{dx}+0=0$

বা, $(2y-8)\frac{dy}{dx}=10-2x$

বা, $\frac{dy}{dx}=\frac{10-2y}{2y-8}=\frac{5-x}{y-4}$

$(10,4)$ বিন্দুতে, $\frac{dy}{dx}=\frac{5-10}{4-4}=\frac{1}{0}$

$\therefore$ স্পর্শকের ঢাল $=\frac{1}{0}$

$(10,4)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,

$y-4=\frac{1}{0}(x-10)$

বা, $x-10=0$

$(10,4)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,

$y-4=0(x-10)$

বা, $y-4=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ $x-10=0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ $y-4=0$.