সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=a+bx+cx2দৃশ্যকল্প-২…’ ২০২৬ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a+\mathrm{bx}+{\mathrm{cx}}^2$
এবং ${\left\{f\left(\frac{1}{{\omega }^2}\right)\right\}}^3\cdot {\left\{f\left(\frac{1}{\omega }\right)\right\}}^3=0$
আমরা জানি, ${\omega }^3=1,1+\omega +{\omega }^2=0,\frac{1}{\omega }={\omega }^2,\frac{1}{{\omega }^2}=\omega$

এবং$\therefore f\left(\frac{1}{{\omega }^2}\right)=f\left(\omega \right)\text{ এবং }f\left(\frac{1}{\omega }\right)=f\left({\omega }^2\right)$

তাহলে প্রদত্ত সমীকরণ, ${\left\{f\left(\frac{1}{{\omega }^2}\right)\right\}}^3\cdot {\left\{f\left(\frac{1}{\omega }\right)\right\}}^3=0$

$\left\{f\right(\omega ){\}}^3\cdot \{f{\left({\omega }^2\right)}^3=0$

বা, $\left\{f\right(\omega )f{\left({\omega }^2\right)}^3=0$
বা, $f\left(\omega \right)f\left({\omega }^2\right)=0$

হয়, $f\left(\omega \right)=0$
বা, $a+b\omega +c{\omega }^2=0\dots \dots$ . . . . . . . (1)

অথবা, $f\left({\omega }^2\right)=0$

বা, $a+b{\omega }^2+c{\omega }^4=0$

বা, $a+b{\omega }^2+c\omega =0\dots \left(2\right)$  . . . . . . . (2)

$[\because {\omega }^3=1]$

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$2a+(\omega +{\omega }^2)(b+c)=0$

বা, $2a-(b+c)=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
বা, $2a-b-c=0$

$\therefore c=2a-b$ . . . . . . . (3)

আবার, (1) নং কে $\omega$ দ্বারা এবং (2) নং কে ${\omega }^2$ দ্বারা গুণ করে যোগ করি,

$\omega (a+b\omega +c{\omega }^2)+{\omega }^2(a+b{\omega }^2+c\omega )=0$

বা, $a\omega +b{\omega }^2+c{\omega }^3+a{\omega }^2+b{\omega }^4+c{\omega }^3=0$
বা, $a\omega +a{\omega }^2+b{\omega }^2+b\omega +c+c=0[\because {\omega }^3=1]$
বা, $(a+b)(\omega +{\omega }^2)+2c=0$
বা, $2c-(a+b)=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
বা, $2c-a-b=0$

$\therefore b=2c-a$ . . . . . . . (4)

আবার, (1) নং কে ${\omega }^2$ দ্বারা এবং (2) নং কে $\omega$ দ্বারা গুণ করে যোগ করি,

${\omega }^2(a+b\omega +c{\omega }^2)+\omega (a+b{\omega }^2+c\omega )=0$

বা, $a{\omega }^2+b{\omega }^3+c{\omega }^4+a\omega +b{\omega }^3+c{\omega }^2=0$
বা, $a{\omega }^2+a\omega +c\omega +c{\omega }^2+b+b=0[\because {\omega }^3=1]$
বা, $2b+(\omega +{\omega }^2)(a+c)=0$
বা, $2b-(a+c)=0[1+\omega +{\omega }^2=0]$
বা, $2b-a-c=0$

$\therefore a=2b-c$ . . . . . . . (5)

সমীকরণ (3), (4) ও (5) নং গুণ করে পাই,

$\dot{a}bc=(2a-b)(2b-c)(2c-a).$ (দেখানো হলো)