সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :f(x)=ax2+bx+cদৃশ্যকল্প-২ :…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=p{x}^2+qx+r$

আবার, $g\left(x\right)=0$

বা, ${\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+r=0$

এখানে, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও ${\alpha }^2$.

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=-\frac{q}{p}$ ........... (i)

এবং $\alpha \times {\alpha }^2=\frac{r}{p}$

$\therefore {\alpha }^3=\frac{r}{p}$ .......... (ii)

(i)নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,

${(\alpha +{\alpha }^2)}^3={(-\frac{q}{p})}^3$

বা, ${\alpha }^3+{\left({\alpha }^2\right)}^3+3\cdot \alpha \cdot {\alpha }^2(\alpha +{\alpha }^2)=-\frac{q^3}{p^3}$

বা, ${\alpha }^3+{\left({\alpha }^3\right)}^2+3{\alpha }^3(\alpha +{\alpha }^2)=-\frac{q^3}{p^3}$

বা, $\frac{r}{p}+{\left(\frac{r}{p}\right)}^2+3\cdot \frac{r}{p}(-\frac{q}{p})=-\frac{q^3}{p^3}$ [(i) ও (ii) ব্যবহার করে]

বা, $\frac{r}{p}+\frac{r^2}{p^2}-\frac{3qr}{p^2}=-\frac{q^3}{p^3}$

বা, $p^{2}r+r^{2}p-3pqr=-q^3[p^3$ দ্বারা গুণ করে]

$\therefore p^{2}r+{\mathrm{pr}}^2+q^3=3$ pqr. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ এবং $f\left(x\right)=0$

$\therefore a{x}^2+bx+c=0$ ........ (i)

আবার, $g\left(x\right)=p{x}^2+qx+r$ এবং $g\left(x\right)=0$

$\therefore {\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+r=0$ ....... (ii)

আবার, মনেকরি, (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও  $\beta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{b}{a}$ এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

আবার, মনে করি, (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\gamma$ ও $\delta$

$\therefore \gamma +\delta =-\frac{q}{p}$ এবং $\gamma \delta =\frac{r}{p}$

শর্তমতে,

$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\chi }{\delta }$

বা, $\frac{\alpha +\beta }{\alpha -\beta }=\frac{\gamma +\delta }{\gamma -\delta }$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{(\alpha +\beta {)}^2}{(\alpha -\beta {)}^2}=\frac{(\gamma +\delta {)}^2}{(\gamma -\delta {)}^2}$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{(\alpha +\beta {)}^2}{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }=\frac{(\gamma +\delta {)}^2}{(\gamma +\delta {)}^2-4\gamma \delta }$

বা, $\frac{{(-\frac{b}{a})}^2}{{(-\frac{b}{a})}^2-\frac{4c}{a}}=\frac{{(-\frac{q}{p})}^2}{{(-\frac{q}{p})}^2-\frac{4r}{p}}$

বা, $\frac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}}=\frac{\frac{q^2}{p^2}}{\frac{q^2}{p^2}-\frac{4r}{p}}$

বা, $\frac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{b^2-4ac}{a^2}}=\frac{\frac{q^2}{p^2}}{\frac{q^2-4rp}{p^2}}$

বা, $\frac{b^2}{b^2-4ca}=\frac{q^2}{q^2-4pr}$

বা, $\frac{b^2-4ca}{b^2}=\frac{q^2-4pr}{q^2}$ [বিপরীত করে]

বা, $\frac{b^2-4ca-b^2}{b^2}=\frac{q^2-4pr-q^2}{q^2}$ [বিয়োজন করে]

বা, $\frac{-4ca}{b^2}=\frac{-4pr}{q^2}$

বা, $\frac{ca}{b^2}=\frac{pr}{q^2}$

$\therefore \frac{b^2}{ca}=\frac{q^2}{pr}$ (প্রমাণিত)