সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ f(x)=|bx−c|দৃশ্যকল্প-২ :…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৯ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=|bx-c|$

$b=1,c=2$ হলে, $f\left(x\right)=|x-2|$

$\therefore f(x^2-2)=|x^2-2-2|=|x^2-4|$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)<\frac{1}{4}$

বা, $|x-2|<\frac{1}{4}\dots \dots ....$(i)

আমরা জানি, $\left|\right(x-2)+4|\le |x-2|+|4|$

বা, $|x+2|\le |x-2|+4$

বা, $|x+2|<\frac{1}{4}+4$ [(i) নং ব্যবহার করে]

বা, $|x+2|<\frac{17}{4}$.

(i) ও (ii) গুণ করে পাই

$|x-2|\cdot |x+2|<\frac{1}{4}\cdot \frac{17}{4}$

বা, $\left|\right(x-2\left)\right(x+2)|<\frac{17}{16}$

বা, $|x^2-4|<\frac{17}{16}$

$\therefore f(x^2-2)<\frac{17}{16}$ (দেখানো হলো)

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

$2x=-1+\sqrt{-3}$

বা, $x=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$

বা, $x=\omega$

এবং $2y=-1-\sqrt{-3}$

বা, $y=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$

বা, $y={\omega }^2$

বামপক $=x^4+x^{3}y+x^2{y}^2+x{y}^3+y^4$

$={\omega }^4+{\omega }^3\cdot {\omega }^2+{\omega }^2{\left({\omega }^2\right)}^2+\omega \cdot {\left({\omega }^2\right)}^3+{\left({\omega }^2\right)}^4$

$=\omega +1\cdot {\omega }^2+{\omega }^2\cdot {\omega }^4+\omega \cdot {\omega }^6+{\omega }^8$

$=\omega +{\omega }^2+{\omega }^6+\omega \cdot 1+{\omega }^2[{\omega }^3=1]$

$=\omega +{\omega }^2+1+\omega +{\omega }^2$

$=(\omega +{\omega }^2)+(1+\omega +{\omega }^2)$

$=-1+0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$=-1=$ ডানপক্ষ

$\therefore x^4+x^{3}y+x^2{y}^2+x{y}^3+y^4=-1.$ (প্রমাণিত)