সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=cos−1⁡xদৃশ্যকল্প-২:…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, ${\cos }^{-1}x=z$

বা, $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}dx=dz$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\cos }^{-1}x$

$\therefore {\int }_0^1\frac{1+\left\{f\right(x){\}}^2}{\sqrt{1-x^2}}dx={\int }^1\frac{1+{({\cos }^{-1}x)}^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$

$=-{\int }_{\frac{\pi }{2}}^0(1+z^2)dz=-{[z+\frac{z^3}{3}]}_{\frac{\pi }{2}}^0$

$=-[0+0-(\frac{\pi }{2}+\frac{{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^3}{3})]$

$=\frac{\pi }{2}+\frac{\frac{{\pi }^3}{8}}{3}=\frac{\pi }{2}+\frac{{\pi }^3}{24}=\frac{12\pi +{\pi }^3}{24}=\frac{\pi ({\pi }^2+12)}{24}$

নির্ণেয় মান : $\frac{\pi ({\pi }^2+12)}{24}$.

দেওয়া আছে, $y^2=4x$ ......... (i)

এবং $y=x$ ......... (ii)

(i)নং এ $y=x$ বসিয়ে পাই,

$x^2=4x$

বা, $x^2-4x=0$

বা, $x(x-4)=0$

$\therefore x=0,x=4$

এখানে, $y_1{}^2=4x$

এবং $y_2=x$

বা, $y_1=\pm \sqrt{4x}=\pm 2\sqrt{x}$ এবং $x$ অক্ষের উপরে $y_1$ ধনাত্মক।

$\therefore$ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $={\int }_0^4(y_1-y_2)dx$

$={\int }_0^4(2\sqrt{x}-x)dx$

$={[2\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}]}_0^4$

$={[\frac{4}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}]}_0^4$

$=(\frac{4}{3}\cdot 4^{\frac{3}{2}}-\frac{4^2}{2})-0$

$=\frac{4}{3}\cdot {\left(2^2\right)}^{\frac{3}{2}}-\frac{16}{2}$

$=\frac{4}{3}\cdot 8-8=\frac{32}{3}-8$

$=\frac{32-24}{3}=\frac{8}{3}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $\frac{8}{3}$ বর্গ একক।