সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=cosecxদৃশ্যকল্প-২: y(x−2)(x−3)−x+7=0…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\mathrm{cosec}x$

ধরি, $g\left(x\right)=f(\frac{\pi }{2}+x)$

$=\mathrm{cosec}(\frac{\pi }{2}+x)=\sec x$

$\therefore g(x+h)=\sec (x+h)$

অন্তরীকরণের সংজ্ঞা অনুযায়ী পাই,

$\frac{d}{dx}g\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sec (x+h)-\sec x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{\cos (x+h)}-\frac{1}{\cos x}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{\cos x-\cos (x+h)}{\cos x\cos (x+h)}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos x-\cos (x+h)}{\cos x\cdot \cos (x+h)}\times \frac{1}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2\sin \left(\frac{x+x+h}{2}\right)\sin \left(\frac{x+h-x}{2}\right)}{h\cos (x+h)\cos x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2\sin (x+\frac{h}{2})\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{h\cos (x+h)\cos x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (x+\frac{h}{2})}{\cos (x+h)\cos x}\times \frac{h}{2}\to 0\frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}$

$[\because h\to 0$ হলে $\frac{h}{2}\to 0$ হয় $]$

$=\frac{\sin x}{\cos x\cos x}\times 1[\because \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1]$

$=\frac{1}{\cos x}\frac{\sin x}{\cos x}$

$\therefore \frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x$

নির্পোল্প অন্তরজ : $\sec x\tan x$.

দেওয়া আছে, $y(x-2)(x-3)-x+7=0$

বা, $y(x^2-5x+6)-x+7=0$

বা, $x^{2}y-5xy-x+6y+7=0$

রেখাটি $x$ অক্ষকে ছেদ করলে $y=0$

$\therefore x^2\cdot 0-5x\cdot 0-x+6\cdot 0+7=0$

বা, $0-0-x+0+7=0$

বা, $0-x+7=0$

$\therefore x=7$

$\therefore x$ -অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(7,0)$

এখন, $x^{2}y-5xy-x+6y+7=0$ কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই

$(x^2\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}{x}^2)-5(x\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}(x\left)\right)-\frac{dx}{dx}+6\frac{dy}{dx}+\frac{d}{dx}\left(7\right)=0$

বা, $x^2\frac{dy}{dx}+2xy-5x\frac{dy}{dx}-5y-1+6\frac{dy}{dx}+0=0$

বা, $(x^2-5x+6)\frac{dy}{dx}=1+5y-2xy$

বা, $\frac{dy}{dx}=\frac{1+5y-2xy}{x^2-5x+6}$

$\therefore (7,0)$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx}=\frac{1+0-0}{7^2-(5\times 7)+6}=\frac{1}{20}$

$\therefore (7,0)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল, $m=-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=-\frac{1}{\frac{1}{20}}=-20$

$(7,0)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের সমীকরণ, $y-0=-20(x-7)$

বা, $y=-20x+140$

$\therefore 20x+y-140=0$

নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ, $20x+y-140=0$.