সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:f(x)=cos⁡x.দৃশ্যকল্প-২:△PQR এ cos⁡P=sin⁡Q−cos⁡R.…’ মাইলস্টোন কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

বামপক্ষ =$16f\left(\frac{2\pi }{15}\right)f\left(\frac{4\pi }{15}\right)f\left(\frac{8\pi }{15}\right)f\left(\frac{14\pi }{15}\right)$

$=16\cos \frac{2\pi }{15}\cdot \cos \frac{4\pi }{15}\cdot \cos \frac{8\pi }{15}\cdot \cos \frac{14\pi }{15}$

$=\frac{8(2\sin \frac{2\pi }{15}\cos \frac{2\pi }{15})\cdot \cos \frac{4\pi }{15}\cdot \cos \frac{8\pi }{15}\cdot \cos \frac{14\pi }{15}}{\sin \frac{2\pi }{15}}$

$=\frac{4\cdot (2\sin \frac{4\pi }{15}\cos \frac{4\pi }{15})\cdot \cos \frac{8\pi }{15}\cdot \cos \frac{14\pi }{15}}{\sin \frac{2\pi }{15}}$

$=\frac{2\cdot (2\sin \frac{8\pi }{15}\cos \frac{8\pi }{15})\cdot \cos \frac{14\pi }{15}}{\sin \frac{2\pi }{15}}$

$=\frac{2\sin \frac{16\pi }{15}\cos \frac{14\pi }{15}}{2\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{15}}=\frac{\sin (\pi +\frac{\pi }{15})\cdot \cos (\pi -\frac{\pi }{15})}{\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{15}}$

$=\frac{(-\sin \frac{\pi }{15})\cdot (-\cos \frac{\pi }{15})}{\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{15}}=\frac{\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{15}}{\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{15}}=1=$ (প্রমাণিত)

এখানে, $△PQR$-এ $P+Q+R=\pi$

এখন, $\cos P=\sin Q-\cos R$ হলে, $\cos P+\cos R=\sin Q$

বা, $2\cos \frac{P+R}{2}\cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin Q$

বা, $2\cos \frac{\pi -Q}{2}\cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin Q[\because P+Q+R=\pi ]$

বা, $2\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{Q}{2})\cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin (2\cdot \frac{Q}{2})$

বা, $2\sin \frac{Q}{2}\cdot \cos \frac{P-R}{2}=2\sin \frac{Q}{2}\cdot \cos \frac{Q}{2}$

বা, $\cos \frac{P-R}{2}=\cos \frac{Q}{2}$

বা, $\frac{P-R}{2}=\frac{Q}{2}$

বা, $P-R=Q$

বা, $P=Q+R$

বা, $P=\pi -P[\because P+Q+R=\pi ]$

বা, $P+P=\pi$

বা, $2P=\pi$

$\therefore P=\frac{\pi }{2}$

যেহেতু $PQR$ ত্রিভুজের $P$ কোণ সমকোণ।

সুতরাং, $PQR$ ত্রিভুজটি সমকোণী। (দেখানো হলো)