সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=cos⁡xদৃশ্যকল্প-২:…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে,

$f\left(x\right)=\cos x$

$\therefore f\left(\alpha \right)=\cos \alpha$

$f\left(\beta \right)=\cos \beta$

$f(\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$

$f(\frac{\pi }{2}-\beta )=\cos (\frac{\pi }{2}-\beta )=\sin \beta$

আবার, $f\left(\alpha \right)+f\left(\beta \right)=a$

বা, $\cos \alpha +\cos \beta =a$

বা, $2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}=a$ ...... (i)

এবং $f(\frac{\pi }{2}-\alpha )+f(\frac{\pi }{2}-\beta )=b$

বা, $\sin \alpha +\sin \beta =b$

বা, $2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}=b$ ...... (ii)

(i)নং কে (ii)নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}}=\frac{a}{b}$

বা, $\cot \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{a}{b}$

বা, ${\cot }^2\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{a^2}{b^2}$ [বর্গ করে]

বা, ${\mathrm{cosec}}^2\frac{\alpha +\beta }{2}-1=\frac{a^2}{b^2}$

বা, ${\mathrm{cosec}}^2\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{a^2}{b^2}+1$

বা, ${\mathrm{cosec}}^2\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{a^2+b^2}{b^2}$

বা, $\frac{1}{{\mathrm{cosec}}^2\frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{1}{\frac{a^2+b^2}{b^2}}$

বা, ${\sin }^2\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{b^2}{a^2+b^2}$

$\therefore \sin \frac{\alpha +\beta }{2}=\pm \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. (প্রমাণিত)

 $△\mathrm{ABC}-A,a=\mathrm{BC}=\sqrt{13},b=\mathrm{AC}=4,c=\mathrm{AB}=3$

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$=\frac{4^2+3^2-(\sqrt{13}{)}^2}{2.4.3}$

$=\frac{16+9-13}{24}=\frac{12}{24}$

বা, $\cos A=\frac{1}{2}$

বা, $\cos A=\cos {60}^{\circ }$.

$\therefore A={60}^{\circ }$

$\therefore △\mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\mathrm{bc}\sin A$

$=\frac{1}{2}4.3\sin {60}^{\circ }$

$=6\frac{\sqrt{3}}{2}$

$=3\sqrt{3}$ বর্গ একক

নির্ণেয় কেত্রফল $3\sqrt{3}$ বর্গ একক।