সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x) =…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

f(x) = sin x

g(x) = e^x

ধরি,

$I=\int g\left(x\right)f(\frac{\pi }{2}-x)dx$

$=\int e^x\cdot \sin (\frac{\pi }{2}-x)dx$

$=\int e^x\cdot \cos xdx$

$=\int \cos x\cdot e^{x}dx$

$=\cos x{e}^x-\int (-\sin x)e^{x}dx$

$=\cos x{e}^x+\sin x{e}^x-\int \cos x\cdot e^{x}dx$

$=e^x(\sin x+\cos x)-I$

$=e^x(\sin x+\cos x)$

$\therefore I=\frac{1}{2}{e}^{x(\sin x+\cos x)}$

$\therefore \int g\left(x\right)f(\frac{1}{2}-x)dx=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x+\cos x)$

দেওয়া আছে,

f(x) = sin x

f(2x) = sin 2x

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(x\right)f\left(2x\right)dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\cdot \sin 2xdx$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2\sin 2x\cdot \sin xdx$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[\cos (2x-x)-\cos (2x+x\left)\right]dx$

$=\frac{1}{2}[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos 3xdx]$

$=\frac{1}{2}{[\sin x-\frac{\sin 3x}{3}]}_0^{\frac{\pi }{2}}+c$

$=\frac{1}{2}[1-\frac{\sin 3\cdot \frac{\pi }{2}}{3}]+c$

$=\frac{1}{2}[1-\frac{(-1)}{3}]+c$

$=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{3}]+c$

$=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}+c$

$=\frac{2}{3}+c$