সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=exদৃশ্যকল্প-২ :…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=e^x$

$y=f({\sec }^{-1}x)$ হলে,

$y=f({\sec }^{-1}x)=e^{2{\mathrm{coc}}^{-1}x}$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই

$y_1=e^{{\sec }^{-1}x}\times \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

$=\frac{y}{x\sqrt{x^2-1}}$

বা, $y_1^2=\frac{y^2}{x^2(x^2-1)}$

[উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $x^2(x^2-1)y_1{}^2=y^2$

$x$ এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $x^2(x^2-1)\cdot 2y_1{y}_2+(4x^3-2x)y_1{}^2=2y{y}_1$

বা, $x^2(x^2-1)y_2+(2x^3-x)y_1=y$ [2 $y_1$ দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore x^2(x^2-1)y_2+x(2x^2-1)y_1-y=0$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $y^2-x-8y+26=0$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $2y\frac{dy}{dx}-1-8\frac{dy}{dx}+0=0$

বা, $(2y-8)\frac{dy}{dx}=1$

বা, $2(y-4)\frac{dy}{dx}=1$

$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2(y-4)}$

এখন, $(11,3)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল,

$m=\frac{-1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{-1}{\frac{1}{2(y-4)}}=-2(y-4)=-2(3-4)=2$

অতএব $(11,3)$ বিন্দুগামী অভিলম্বের সমীকরণ, $y-3=2(x-11)$

বা, $y-3=2x-22$

বা, $2x-y=19$

বা, $\frac{x}{\frac{19}{2}}+\frac{y}{-19}=1$

$x$ অক্ষের ছেদ বিন্দুতে : $y=0$

$\therefore x=\frac{19}{2}$

$\therefore x$-অক্ষের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{19}{2},0)$

$y$ অক্ষের ছেদবিন্দুতে : $x=0\therefore y=-19$

$\therefore y$-অক্ষের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-19)$

সুতরাং অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য,

$=\sqrt{{(\frac{19}{2}-0)}^2+(0+19{)}^2}$ একক

$=\sqrt{\frac{361}{4}+361}$ একক

$=\sqrt{\frac{361+1444}{4}}$ একক

$=\sqrt{\frac{1805}{4}}$ একক $=\frac{19\sqrt{5}}{2}$ একক

নির্ণেয় অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য $\frac{19\sqrt{5}}{2}$ একক।