সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=sin⁡(2sin−1⁡x).দৃশ্যকল্প-২ :…’ ঢাকা বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin (2{\sin }^{-1}x)$

এখন, $y=f\left(x\right)$ হলে, $y=\sin (2{\sin }^{-1}x)$

বা, ${\sin }^{-1}y=2{\sin }^{-1}x$

উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}y)=\frac{d}{dx}(2{\sin }^{-1}x)$

বা, $\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\cdot y_1=2\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

বা, $\frac{y_1^2}{1-y^2}=\frac{4}{1-x^2}$ [বর্গ করে]

বা, $(1-x^2)y_1^2=4(1-y^2)$

আবার, উভয়পক্ষকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীরণ করে পাই,

বা, $\frac{d}{dx}(1-x^2)\cdot y_1{}^2=\frac{d}{dx}\left\{4(1-y^2)\right\}$

বা, $(1-x^2)2y_1\cdot y_2+y_1^2(-2x)=4(-2y\cdot y_1)$

বা, $(1-x^2)y_2-x{y}_1=-4y$

$\therefore (1-x^2)y_2-{\mathrm{xy}}_1+4y=0$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=2x^3-7x^2+4x+5$

$\therefore g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-14x+4$

$\therefore g^{″}\left(x\right)=12x-14$

গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, $g^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $6x^2-14x+4=0$

বা, $3x^2-7x+2=0$

বা, $3x^2-6x-x+2=0$

বা, $3x(x-2)-1(x-2)=0$

বা, $(x-2)(3x-1)=0$

হয়, $x-2=0$

বা, $x=2$

অথবা, $3x-1=0$

বা, $3x=1$

বা, $x=\frac{1}{3}$

$x=2$ হলে, $g^{″}\left(2\right)=12.2-14=10>0$

$\therefore x=2$ এর জন্য $g\left(x\right)$ এর লঘুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ লঘুমান, $g\left(2\right)={2.2}^3-{7.2}^2+4.2+5=1$

$x=\frac{1}{3}$ হলে, $g^{″}\left(\frac{1}{3}\right)=12\frac{1}{3}-14=-10<0$

$\therefore x=\frac{1}{3}$ এর জন্য $g\left(x\right)$ এর গুরুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ গুরুমান, $g\left(\frac{1}{3}\right)=2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3-7\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2+4\cdot \frac{1}{3}+5=\frac{152}{27}$

নির্ণেয় লঘুমান = 1 এবং গুরুমান $=\frac{152}{27}$