সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=sin⁡x.দৃশ্যকল্প-২ :…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

 দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

ধরি, $g\left(x\right)=\frac{f(\frac{\pi }{2}-2x)}{f\left(2x\right)}=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-2x)}{\sin 2x}=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}$

$\therefore g\left(x\right)=\cot 2x$

$\therefore g(x+h)=\cot 2(x+h)=\cot (2x+2h)$

অন্তরজের সংজ্ঞানুযায়ী আমরা পাই,

$\frac{d}{dx}\left\{g\right(x\left)\right\}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cot (2x+2h)-\cot 2x}{h}$

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{\cos (2x+2h)}{\sin (2x+2h)}-\frac{\cos 2x}{\sin 2x}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (2x+2h)\sin 2x-\cos 2x\sin (2x+2h)}{h\sin (2x+2h)\sin 2x}$

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (2x-2x-2h)}{h\sin (2x+2h)\sin 2x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{-\sin 2h}{h\sin (2x+2h)\sin 2x}$

$=-2\underset{h\to 0}{lim}\left(\frac{\sin 2h}{2h}\right)lim\to 0\frac{1}{{\sin }^2(2x+2h)\cdot {\sin }^{2x}}$

$=-2\cdot 1\cdot \frac{1}{\sin 2x\cdot \sin 2x}=-2\cdot \frac{1}{{\sin }^{2}2x}=-2{\mathrm{cosec}}^{2}2x$

$\therefore \frac{d}{dx}(\cot 2x)=-2{\mathrm{cosec}}^{2}2x$.

দেওয়া আছে, $x=\sin (\frac{1}{m}\ln y)$

বা, $\frac{1}{m}\ln y={\sin }^{-1}x$

বা, $\ln y=m{\sin }^{-1}x$

বা, $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=m\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

বা, $\frac{1}{y}{y}_1=\frac{m}{\sqrt{1-x^2}}$

বা, $\frac{y_1^2}{y^2}=\frac{m^2}{1-x^2}$ [বর্গ করে]

বা, $(1-x^2)y_1^2=m^2{y}^2$

বা, $\frac{d}{dx}\left\{(1-x^2)y_1{}^2\right\}=\frac{d}{dx}\left(m^2{y}^2\right)$

[পুণরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীক্ররণ করে]

বা, $(1-x^2)\frac{d}{dx}{y}_1^2+y_1^2\frac{d}{dx}(1-x^2)=m^2\cdot 2y\cdot y_1$

বা, $(1-x^2)\cdot 2y_1{y}_2+y_1^2(0-2x)=m^2\cdot 2y\cdot y_1$

$\therefore (1-x^2)y_2-x{y}_1=m^{2}y$. [প্রমাণিত]