সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=sin⁡x; দৃশ্যকল্প-২:g(x)=x2.…’ সরকারি মাইকেল মধুসূদন (এম.এম) কলেজ ২০২৬ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $2+\sin x=z$

বা, $\cos xdx=dz$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

সুতরাl, $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

প্রদত্ত রাশি $={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{f\left(x\right)dx}{\{2+f(x\left)\right\}\{3+f(x\left)\right\}}$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}={\int }_2^3\frac{dz}{z(1+z)}$

$={\int }_2^3(\frac{1}{z}-\frac{1}{1+z})dz\frac{\cos x}{(2+\sin x)(1+2+\sin x)}dx$

$={\int }_2^3\frac{1}{z}dz-{\int }_2^3\frac{1}{1+z}dz$

$=[\ln z{]}_2^3-[\ln (1+z){]}_2^3$

$=(\ln 3-\ln 2)-(\ln 4-\ln 3)$

$=\ln 3-\ln 2-\ln 4+\ln 3$

$=2\ln 3-\ln 2-\ln 4$

$=\ln 3^2-\ln 2-\ln 4=\ln \frac{3^2}{2\times 4}=\ln \frac{9}{8}$

নির্ণেয় মান : $\ln \frac{9}{8}$.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^2$ এবং $y=g\left(x\right)-6=x^2-6$

$\therefore y=x^2-6\dots \dots \dots \text{ (i) }$

সরলরেখার সমীকরণ, $y=x$ ......... (ii)

(i) নং ও (ii) নং হতে পাই,

$\therefore x=x^2-6$

বা, $x^2-x-6=0$

বা, $x^2-3x+2x-6=0$

বা, $x(x-3)+2(x-3)=0$

বা, $(x-3)(x+2)=0$

$\therefore x=-2,3$

$\therefore$ আবস্থক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $={\int }_{-2}^3(y_2-y_1)dx$

$={\int }_{-2}^3[x-(x^2-6)]dx$

$={\int }_{-2}^3(x-x^2+6)dx$

$={[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+6x]}_{-2}^3$

$=[\frac{3^2}{2}-\frac{3^3}{3}+6\times 3]-[\frac{(-2{)}^2}{2}-\frac{(-2{)}^3}{3}+6(-2\left)\right]$

$=(\frac{9}{2}-9+18)-(2+\frac{8}{3}-12)$

$=\frac{9}{2}+9+10-\frac{8}{3}$

$=\frac{9}{2}-\frac{8}{3}+19$

$=\frac{27-16+114}{6}=\frac{125}{6}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : $\frac{125}{6}$ বর্গ একক।