সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=sin⁡xদৃশ্যকল্প-২ :…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $2+\sin x=z$

বা, $\cos xdx=dz$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

সুতরাং, $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

প্রদত্ত রাশি $={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{f\left(x\right)dx}{\{2+f(x\left)\right\}\{3+f(x\left)\right\}}$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}={\int }_2^3\frac{dz}{z(1+z)}$

$={\int }_2^3(\frac{1}{z}-\frac{1}{1+z})dz\frac{\cos x}{(2+\sin x)(1+2+\sin x)}dx$

$={\int }_2^3\frac{1}{z}dz-{\int }_2^3\frac{1}{1+z}dz$

$=[\ln z{]}_2^3-[\ln (1+z){]}_2^3$

$=(\ln 3-\ln 2)-(\ln 4-\ln 3)$

$=\ln 3-\ln 2-\ln 4+\ln 3$

$=2\ln 3-\ln 2-\ln 4$

$=\ln 3^2-\ln 2-\ln 4=\ln \frac{3^2}{2\times 4}=\ln \frac{9}{8}$

নির্ণেয় মান : $\ln \frac{9}{8}$.

দেওয়া আছে, $y^2=16x=4\cdot 4x$

$\therefore y^2=4ax$ যেখানে, $a=4$

সুতরাং, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $x=a$ বা, $x=4$

আবার, $y^2=16x$

বা, $y=\sqrt{16x}=4\sqrt{x}$

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A=2{\int }_0^{4}ydx=2{\int }_0^{4}4\sqrt{x}dx$

$=2\times 4{\int }_0^4{x}^{\frac{1}{2}}dx=8{\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]}_0^4$

বা, $A=8{\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]}_0^4$

বা, $A=8\times \frac{2}{3}[4^{\frac{3}{2}}-0]=\frac{16}{3}\times 8=\frac{128}{3}$ বর্গ একক 

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : $\frac{128}{3}$ বর্গ একক।