সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ঃ f(x)=sin⁡xদৃশ্যকল্প-২ঃ f(x,y)=x2+y2−49…’ ২০২৬ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore f\left(3x\right)=\sin 3x$

$\therefore {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left\{f\right(x\left){\}}^{2}f\right(3x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x\sin 3xdx$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\sin }^{2}x\cdot \sin 3xdx$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 2x)\sin 3xdx$

$=\frac{1}{2}[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3xdx-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos 2xdx]$

$=\frac{1}{2}[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3xdx-\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2\sin 3x\cos 2xdx]$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3xdx-\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\{\sin (3x+2x)$

$+\sin (3x-2x)\}dx$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3xdx-\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 5xdx-\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx$

$=\frac{-1}{2}{\left[\frac{\cos 3x}{3}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{4}{\left[\frac{\cos 5x}{5}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{4}[\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

$=-\frac{1}{6}(0-1)+\frac{1}{20}(0-1)+\frac{1}{4}(0-1)$

$=\frac{1}{6}-\frac{1}{20}-\frac{1}{4}$

$=\frac{10-3-15}{60}=\frac{-8}{60}=-\frac{2}{15}$

নির্ণেয় মান : $-\frac{2}{15}$.

দেওয়া আছে, $f(x,y)=x^2+y^2-49$

আবার, $f(x,y)=0$

বা, $x^2+y^2-49=0$

বা, $x^2+y^2=49$

$\therefore x^2+y^2=7^2$

যা একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র $\left(0,0\right)$ এবং ব্যাসার্ধ 7 একক।

আবার, $x^2+y^2-49=0$

বা, $y^2=49-x^2$

বা, $y=\pm \sqrt{49-x^2}$

প্রথম চতুর্ভাগে $y$ ধনাত্মক

অর্থাৎ, $y=\sqrt{49-x^2}$

$x=5$ রেখাটি বৃত্তটিকে ছেদ করে।

বৃত্ত এবং $x=5$ রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল

$\begin{array}{cc}& =2{\int }_5^{7}ydx\\ & =2{\int }_5^7\sqrt{49-x^2}dx\\ & =2{\int }_5^7\sqrt{7^2-x^2}dx\\ & =2{[\frac{x\sqrt{7^2-x^2}}{2}+\frac{7^2}{2}{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{7}\right)]}_5^7\end{array}$

$[\because \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2^3}{\sin }^{-1}\frac{x}{a}+c]$

$\begin{array}{cc}& ={[x\sqrt{7^2-x^2}+49{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{7}\right)]}_5^7\\ & =(0+49\times \frac{\pi }{2})-(5\sqrt{24}+49{\sin }^{-1}\frac{5}{7})\end{array}$

$=\frac{49\pi }{2}-10\sqrt{6}-49{\sin }^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$ বর্গ একক

নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল =frac{49 pi}{2}-10 sqrt{6}-49 sin ^{-1}left(frac{5}{7}right)$ বর্গ একক