সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :f(x)=sin⁡xদৃশ্যকল্প-২ :…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A+B+C=\pi ,f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore f\left(4A\right)=\sin 4A,f\left(4B\right)=\sin 4B,f\left(4C\right)=\sin 4C$

$f\left(2A\right)=\sin 2A,f\left(2B\right)=\sin 2B,f\left(2C\right)=\sin 2C$

বামপক্ষ $=f\left(4A\right)+f\left(4B\right)+f\left(4C\right)$

$=\sin 4A+\sin 4B+\sin 4C$

$=2\sin (2A+2B)\cos (2A-2B)+\sin 4C$

$=2\sin (2\pi -2C)\cos (2A-2B)+\sin 4C$

$=-2\sin 2C\cos (2A-2B)+\sin 2.2C$

$=-2\sin 2C\cos (2A-2B)+2\sin 2C\cos 2C$

$=-2\sin 2C[\cos (2A-2B)-\cos 2C]$

$=-2\sin 2C[\cos (2A-2B)-\cos \{2\pi -(2A+2B)\left\}\right]$

$=-2\sin 2C[\cos (2A-2B)-\cos (2A+2B\left)\right]$

$=-2\sin 2C.2\sin 2A\sin 2B$

$=-4\sin 2A\sin 2B\sin 2C$

$=-4f\left(2A\right)f\left(2B\right)f\left(2C\right)$

= ডানপক্ষ

$\therefore f\left(4A\right)+f\left(4B\right)+f\left(4C\right)$$=-4f\left(2A\right)f\left(2B\right)f\left(2C\right)$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

বামপক্ষ $=b^4+c^4+a^4-\sqrt{3}{b}^2{c}^2$

$={\left(b^2\right)}^2+{\left(c^2\right)}^2+{(-a^2)}^2+2b^2{c}^2-2a^2{b}^2-2c^2{a}^2$

$-\sqrt{3}{b}^2{c}^2-2b^2{c}^2+2a^2{c}^2+2a^2{b}^2$

$={(b^2+c^2-a^2)}^2-\sqrt{3}{b}^2{c}^2-2b^2{c}^2+2a^2(b^2+c^2)$

$={(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\times 2bc)}^2-\sqrt{3}{b}^2{c}^2-2b^2{c}^2+2a^2(b^2+c^2)$

$=(\cos A\times 2bc{)}^2-\sqrt{3}{b}^2{c}^2-2b^2{c}^2+2a^2(b^2+c^2)$

$={(\cos {15}^{\circ }\times 2bc)}^2-\sqrt{3}{b}^2{c}^2-2b^2{c}^2+2a^2(b^2+c^2)$

$={\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\right)}^2\times 4b^2{c}^2-\sqrt{3}{b}^2{c}^2-2b^2{c}^2+2a^2(b^2+c^2)$

$=\frac{3+1+2\sqrt{3}}{4\times 2}\times 4b^2{c}^2-\sqrt{3}{b}^2{c}^2-2b^2{c}^2+2a^2(b^2+c^2)$

$=(2+\sqrt{3})b^2{c}^2-\sqrt{3}{b}^2{c}^2-2b^2{c}^2+2a^2(b^2+c^2)$

$=2b^2{c}^2+\sqrt{3}{b}^2{c}^2-\sqrt{3}{b}^2{c}^2-2b^2{c}^2+2a^2(b^2+c^2)$

$=2a^2(b^2+c^2)=$ ডানপক্ষ

$\therefore b^4+c^4+a^4-\sqrt{3}{b}^2{c}^2$$=2a^2(b^2+c^2)$ (প্রমাণিত)